Chủ đề này có 25 trả lời

[Taiga]

Hình học không gian
Đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $AB =a, AD =a\sqrt{3}, SD = a\sqrt{7}$ và SA vuông góc đáy.. Gọi M,N là trung diểm của SA, SC.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi (SCD) và (ABCD).
(Cả 2 câu a và b mình đều làm được dễ dàng, nhưng câu c mới khó).
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Taiga: 18-04-2012 - 20:20

[Mylovemath]

Hình học không gian
Đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $AB =a, AD =a\sqrt{3}, SD = a\sqrt{7}$ và SA vuông góc đáy.. Gọi M,N là trung diểm của SA, SC.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi (SCD) và (ABCD).
(Cả 2 câu a và b mình đều làm được dễ dàng, nhưng câu c mới khó).
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).

Mặc dù chưa học hình không gian cấp 3 nhưng em thử đưa cách này xem nhé

Ta có các yếu tố sau

$AD=a\sqrt{3}$

$SD=a\sqrt{7}$

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông $SAD$ ta có:

$SA^2=SD^2-AD^2$

$=>$ $SA^2=(a\sqrt{7})^2 - (a\sqrt{3})^2$

$=>$ $SA^2= 4a^2$ $=>$ $SA=2a$

Vì $M$ là trung điểm $SA$ nên ta có $SM=MA=a$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $AMD$ ta có:

$MD^2=a^2+ (a\sqrt{3})^2$

$=>$ $MD=2a$

Áp dụng định lý cô-sin vào tam giác SMD ta có

$CosD=\frac{4a^2+7a^2-a^2}{2.2a.a\sqrt{7}}=\frac{10a^2}{4a^2.\sqrt{7}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$

Từ đó ta dễ dàng suy ra $SinD$ :

$SinD=\sqrt{\frac{3}{28}}$ (Góc $D$ nhọn)

Hạ $SP$ $MD$

Xét trong tam giác vuông $SPD$ vuông tại $P$ ta có:

$SinD=\frac{SP}{SD}=\frac{SP}{a\sqrt{7}}$

$=>$ $SP=\frac{a\sqrt{21}}{\sqrt{28}}$ hay $SP=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy : khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(MDN)$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ $(đvđd)$

[Taiga]

Áp dụng định lý cô-sin vào tam giác $SMD$ ta có

Cám ơn sự giúp đỡ của bạn nhưng rất tiếc là $\Delta SMD$ không vuông bạn ạ.
Trong mặt phẳng $SAD$, $SA$ đã vuông với $AD$ rồi thì không thể vuông với $MD$ được.^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Taiga: 19-04-2012 - 05:19

[Mylovemath]

Cám ơn sự giúp đỡ của bạn nhưng rất tiếc là $\Delta SMD$ không vuông bạn ạ.
Trong mặt phẳng $SAD$, $SA$ đã vuông với $AD$ rồi thì không thể vuông với $MD$ được.^^

Tam giác $SMD$ không vuông thì càng tốt chứ sao tại vì mình áp dụng định lý cô-sin vào tam giác $SMD$ mà định lý cô-sin thì tam giác nào cũng áp dụng được..

[Taiga]

Hình học không gian không giống hình học phẳng bạn ạ.
Cách của bạn vẫn chỉ là tính khoảng cách từ $S$ tới $MD$ chứ không phải từ $S$ đến mặt phẳng $MND$. ^^

[Mylovemath]

Mình thấy phần c) vô lý thế nào ý .
Nếu ta gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(MND)$ thì $SH\perp MN$ mà ta lại có $SA\perp MN$ nên $SA\equiv SH$.
Mặt khác : $SH\perp MD$ nên suy ra $SA\perp MD$ ( vô lí !!! ).
Bạn kiểm tra thử xem

Chị ơi! hình như chị đọc nhầm chứ $SA$ $MN$ đâu

$SA$ vuông góc với đáy mà ?? nhưng MN đâu phải cạnh của hình chữ nhật là đáy ??

[tieulyly1995]

Chị ơi! hình như chị đọc nhầm chứ $SA$ $MN$ đâu

$SA$ vuông góc với đáy mà ?? nhưng MN đâu phải cạnh của hình chữ nhật là đáy ??

Vì $SA$ vuông góc với đáy nên $SA\perp AC$ mà $AC//MN$ nên $SA\perp MN$ đó em

[Mylovemath]

Mình thấy phần c) vô lý thế nào ý .
Nếu ta gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(MND)$ thì $SH\perp MN$ mà ta lại có $SA\perp MN$ nên $SA\equiv SH$.
Mặt khác : $SH\perp MD$ nên suy ra $SA\perp MD$ ( vô lí !!! ).
Bạn kiểm tra thử xem

Vì $SA$ vuông góc với đáy nên $SA\perp AC$ mà $AC//MN$ nên $SA\perp MN$ đó em

Em xin lỗi ..em không để ý kĩ .

Thật ra sai ở chỗ khác nếu chị gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(MND)$ thì $SH\perp MD$ chứ không phải $SH\perp MN$ đâu

[tieulyly1995]

Em xin lỗi ..em không để ý kĩ .

Thật ra sai ở chỗ khác nếu chị gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(MND)$ thì $SH\perp MD$ chứ không phải $SH\perp MN$ đâu

Như nhau mà em, khi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(MND$ thì $SH$ sẽ vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong $(MND)$

[Mylovemath]

Như nhau mà em, khi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(MND$ thì $SH$ sẽ vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong $(MND)$

Vậy nếu như $H$ như chị gọi là để $SH$ vuông góc với $MN$ thì làm sao $SH$ vuông góc với $MD$ được (vô lý)

[longnguyen171]

Mình thấy phần c) vô lý thế nào ý .
Nếu ta gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(MND)$ thì $SH\perp MN$ mà ta lại có $SA\perp MN$ nên $SA\equiv SH$.
Mặt khác : $SH\perp MD$ nên suy ra $SA\perp MD$ ( vô lí !!! ).
Bạn kiểm tra thử xem

Bạn vẫn bị nhầm đấy, gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng thì dù $SA \perp MN$ thì SH cũng không thể trùng với SA được. Bạn có thể nhìn hình sau

[longnguyen171]

Vậy nếu như $H$ như chị gọi là để $SH$ vuông góc với $MN$ thì làm sao $SH$ vuông góc với $MD$ được (vô lý)

Hai đường thằng vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng $90^o$ và trong không gian thì không cần cắt nhau vẫn có thể vuông góc

[Taiga]

Thật ra thì các bạn nào chưa học cấp 3 thì không nên vào đây vì giải hình không gian hại não lắm.
Rồi bài này siêu hại não nữa.
Thật ra thì nếu bài này có đáy là hình vuông thì mình đã giải ra được rồi.@@
$Giả sử ta có đáy là hình vuông: gọi O là tâm.
d(S,(MND)) = d(A,(MND)) = d(O,(MND)) (vì AO//(MND))$

$Mà MN vuông góc (OMD) (vì MN vuông góc ON và OD)
-> ta kẻ OH vuông góc ND
-> OH vuông góc (MND) (OH vuông MN, vuông ND)
-> d(O,(MND) = OH -> tính ra dễ dàng!$

Nhưng tiếc là đáy không vuông!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Taiga: 23-04-2012 - 18:24

[Mylovemath]

à bài này không có 1 chút vấn đề nào cả !! về việc lấy Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(MND)$ mình đã kiểm tra kĩ và hình chiếu của $S$ rơi ra ngoài mặt phẳng chứ không vuông góc với cạnh nào của mặt phẳng hết

Để gọi hình chiếu

Đầu tiên gọi $I$ là trung điểm của $MN$
sau đó hạ $SH \perp DI$ vậy ta sẽ thấy $H$ sẽ thuộc mp $(MND)$ vì $H$ thuộc $DI$ rồi $DI$ lại nằm trong mp

công việc còn lại là tính $SH$ là hoàn thành câu c...để em sử dụng kiến thức lớp 10 và những gì đã biết xem có tính được SH không ..nếu có kết quả sẽ báo cáo lên sau

[longnguyen171]

Thật ra thì các bạn nào chưa học cấp 3 thì không nên vào đây vì giải hình không gian hại não lắm.
Rồi bài này siêu hại não nữa.
Thật ra thì nếu bài này có đáy là hình vuông thì mình đã giải ra được rồi.@@
$Giả sử ta có đáy là hình vuông: gọi O là tâm.
d(S,(MND)) = d(A,(MND)) = d(O,(MND)) (vì AO//(MND))$

$Mà MN vuông góc (OMD) (vì MN vuông góc ON và OD)
-> ta kẻ OH vuông góc ND
-> OH vuông góc (MND) (OH vuông MN, vuông ND)
-> d(O,(MND) = OH -> tính ra dễ dàng!$

Nhưng tiếc là đáy không vuông!

Nếu bạn đã học thể tích rồi, thì mình nghĩ bạn có thể làm được bằng cách dựa vào chóp D.MSN hoặc có thể tọa độ hóa bài này là tính được

[deadroot]

bạn có thể làm như sau
B1 tinh thể tích chóp
thể tích của SACD = 1/2 thể tích chóp
B2 dùng simsơn tíh ra thể tích SMND=1/4 thể tích SACD
các cạnh tam giác dễ dang tích đc dùng hê rông để ra diện tích
cuối cung dùng công thức tích thể tích để ra khoảng cách

[Taiga]

à bài này không có 1 chút vấn đề nào cả !! về việc lấy Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(MND)$ mình đã kiểm tra kĩ và hình chiếu của $S$ rơi ra ngoài mặt phẳng chứ không vuông góc với cạnh nào của mặt phẳng hết

Để gọi hình chiếu

Đầu tiên gọi $I$ là trung điểm của $MN$
sau đó hạ $SH \perp DI$ vậy ta sẽ thấy $H$ sẽ thuộc mp $(MND)$ vì $H$ thuộc $DI$ rồi $DI$ lại nằm trong mp

công việc còn lại là tính $SH$ là hoàn thành câu c...để em sử dụng kiến thức lớp 10 và những gì đã biết xem có tính được SH không ..nếu có kết quả sẽ báo cáo lên sau

Không đơn giản như bạn nói đâu. !@.@
Để tìm khoảng cách từ điểm S đến 1 mặt phẳng yêu cầu phải tính hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đó. Mà hình chiếu trên mặt phẳng yêu cầu phải vuông góc với ít nhất 2 đường cắt nhau trong mặt phẳng đó.

[Taiga]

bạn có thể làm như sau
B1 tinh thể tích chóp
thể tích của SACD = 1/2 thể tích chóp
B2 dùng simsơn tíh ra thể tích SMND=1/4 thể tích SACD
các cạnh tam giác dễ dang tích đc dùng hê rông để ra diện tích
cuối cung dùng công thức tích thể tích để ra khoảng cách

Thật ra mình chưa học đến thể tích bạn ạ. Mình đang học lớp 11 và đang chuẩn bị thi.

[tieulyly1995]

Thế thì nhân dịp này bạn học luôn đi, càng biết nhiều càng tốt mà

[Mylovemath]

Không đơn giản như bạn nói đâu. !@.@
Để tìm khoảng cách từ điểm S đến 1 mặt phẳng yêu cầu phải tính hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đó. Mà hình chiếu trên mặt phẳng yêu cầu phải vuông góc với ít nhất 2 đường cắt nhau trong mặt phẳng đó.

Mình hạ hình chiếu như vậy là vuông góc với cả 3 cạnh mà