Đến nội dung

Hình ảnh

1.Cho a, b,c dương thỏa mãn a+b+c=3 thì: $\frac{{a}^{2}b}{2a+b}+\frac{{b}^{2}c}{2b+c}+\frac{{c}^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
tomoyochan3

tomoyochan3

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
1.Chứng minh rằng với mọi a, b,c dương thỏa mãn a+b+c=3 thì:
$\frac{{a}^{2}b}{2a+b}+\frac{{b}^{2}c}{2b+c}+\frac{{c}^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$
2.Cho a, b, c là các số thực tùy ý.Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{{c}^{2}}+\frac{bc}{{a}^{2}}+\frac{ca}{{b}^{2}}\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right)$
3.Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng
$\frac{{a}^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{{b}^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{{c}^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$
Còn 2 tháng nữa.
Quyết tâm đậu ĐH!!!!

#2
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Bài 1.Chứng minh rằng với mọi $a, b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$ thì:
$\frac{{a}^{2}b}{2a+b}+\frac{{b}^{2}c}{2b+c}+\frac{{c}^{2}a}{2c+a}\leq 1$
Bài 2.Cho $a, b, c$ là các số thực tùy ý.Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{{c}^{2}}+\frac{bc}{{a}^{2}}+\frac{ca}{{b}^{2}}\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right)$
Bài 3.Cho$ a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$Chứng minh rằng
$\frac{{a}^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{{b}^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{{c}^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

Giải
Bài 1:Sử dụng trực tiếp BĐT $AM-GM$ ta có
\[\frac{{{a^2}b}}{{2a + b}} \le \frac{{{a^2}b}}{{3\sqrt[3]{{{a^2}b}}}} = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{{a^4}{b^2}}} \le \frac{1}{9}\left( {{a^2} + ab + ab} \right)\]
Tương tự như trên ta có
\[\frac{{{b^2}c}}{{2b + c}} \le \frac{1}{9}\left( {{b^2} + bc + bc} \right)\]
\[\frac{{{c^2}a}}{{2c + a}} \le \frac{1}{9}\left( {{c^2} + ca + ca} \right)\]
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có ĐPCM
Bài 2Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có
\[\left( {\frac{{ab}}{{{c^2}}} + \frac{b}{a}} \right) + \left( {\frac{{ab}}{{{c^2}}} + \frac{a}{b}} \right) \ge 2\left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)\]
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vế với vế
Bài 3
Bài này rất quen thuộc
\[\frac{{{a^3}}}{{(1 + b)(1 + c)}} + \frac{{b + 1}}{8} + \frac{{c + 1}}{8} \ge \frac{3}{4}a\]
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vế với vế là có ĐPCM
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#3
bugatti

bugatti

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Giải
Bài 1:Sử dụng trực tiếp BĐT $AM-GM$ ta có
\[\frac{{{a^2}b}}{{2a + b}} \le \frac{{{a^2}b}}{{3\sqrt[3]{{{a^2}b}}}} = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{{a^4}{b^2}}} \le \frac{1}{9}\left( {{a^2} + ab + ab} \right)\]
Tương tự như trên ta có
\[\frac{{{b^2}c}}{{2b + c}} \le \frac{1}{9}\left( {{b^2} + bc + bc} \right)\]
\[\frac{{{c^2}a}}{{2c + a}} \le \frac{1}{9}\left( {{c^2} + ca + ca} \right)\]
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có ĐPCM
Bài 2Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có
\[\left( {\frac{{ab}}{{{c^2}}} + \frac{b}{a}} \right) + \left( {\frac{{ab}}{{{c^2}}} + \frac{a}{b}} \right) \ge 2\left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)\]
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vế với vế
Bài 3
Bài này rất quen thuộc
\[\frac{{{a^3}}}{{(1 + b)(1 + c)}} + \frac{{b + 1}}{8} + \frac{{c + 1}}{8} \ge \frac{3}{4}a\]
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vế với vế là có ĐPCM

Em dốt bđt lắm, anh Hoàng có thể nói cho em biết về cách suy nghĩ để đưa ra cách làm này không ạ? em cảm ơn anh nhiều lắm!
Nếu bạn thích bài viết của tôi hãy chọn "LIKE" nhé,
còn nếu không thích hãy chọn "LIKE" coi như đó là 1 viên gạch :))

#4
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
Bài 1,2 thì AM-GM bình thường, theo em nghĩ thì cũng ko có gì suy luận hay khó lắm.
Bài 3 anh có thể sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi trong AM-GM, anh sẽ đoán được hệ số, và thêm bớt hạng tử vào cho hợp lí để xử lí mẫu thức sau khi sử dụng AM-GM

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh