Chủ đề này có 2 trả lời

[iloveyou123]

với a,b là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\frac{a+b}{\sqrt{a(4a+5b)}+ \sqrt{b(4b+5a)}}$

[NLT]

với a,b là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\frac{a+b}{\sqrt{a(4a+5b)}+ \sqrt{b(4b+5a)}}$

Theo BĐT AM-GM, thì:
$13a + 5b = 9a + \left( {4a + 5b} \right) \ge 2\sqrt {9a\left( {4a + 5b} \right)} = 6\sqrt {a\left( {4a + 5b} \right)} $
$ \Rightarrow \sqrt {a\left( {4a + 5b} \right)} \le \frac{{13a + 5b}}{6}$
Tương tự:$\sqrt {b\left( {4b + 5a} \right)} \le \frac{{13b + 5a}}{6}$
Suy ra:$\sqrt {a\left( {4a + 5b} \right)} + \sqrt {b\left( {4b + 5a} \right)} \le \frac{{13a + 5b}}{6} + \frac{{13b + 5a}}{6} = 3\left( {a + b} \right)$
Do đó:$\frac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {4a + 5b} \right)} + \sqrt {b\left( {4b + 5a} \right)} }} \ge \frac{1}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 19-04-2012 - 12:47

[NLT]

Bạn cũng có thể dùng BĐT Cauchy-Schwartz như sau:
$\left( {\sqrt {a\left( {4a + 5b} \right)} + \sqrt {b\left( {4b + 5a} \right)} } \right)^2 \le \left( {a + b} \right)\left[ {\left( {4a + 5b} \right)\left( {4b + 5a} \right)} \right]$
$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {a\left( {4a + 5b} \right)} + \sqrt {b\left( {4b + 5a} \right)} } \right)^2 \le \left[ {3\left( {a + b} \right)} \right]^2 $
Suy ra: $\sqrt {a\left( {4a + 5b} \right)} + \sqrt {b\left( {4b + 5a} \right)} \le 3\left( {a + b} \right)$
Rồi tiếp tục thực hiện như cách trên nhé !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 19-04-2012 - 12:51