Chủ đề này có 5 trả lời

[iloveyou123]

Câu I
a) Tìm m để pt $x^{2}-2mx-m+2= 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ sao cho biểu thức $(x_{1}x_{2})^{4} + \frac{1}{16}(x_{1}+x_{2})^{4}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2
a) Giải phương trình: $\sqrt{2x-1}+x=\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x+1}$b)
b) Biết p là số nguyên tố thỏa mãn: $p^{3}-6$ và $2p^{3}+5$ là các số nguyên tố. Chứng minh rằng $p^{2}+10$ cũng là số nguyên tố

Câu 3
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tiếp tuyến tại B của (O) lần lượt tại S,T. BT giao AC tại E, CS giao AB tại F. M,N lần lượt là trung điểm Be, CF. Chứng minh rằng $\angle BCM= \angle CBN$

Câu 4:
Cho 2012 số nguyên dương $x_{1},x_{2},...x_{2011},x_{2012}$ thỏa mãn điều kiện sau: $\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+....+\frac{1}{\sqrt{x_{2011}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2012}}}= 125$. Chứng minh rằng trong 2012 số nguyên dương trên có ít nhất 3 số bằng nhau.

[hoangtrong2305]

Câu 2
a) Giải phương trình: $\sqrt{2x-1}+x=\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

$\sqrt{2x-1}+x=\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$

$\sqrt{2x-1}+x=\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=\sqrt{x}-x$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}-\sqrt{x^{2}-x+1})^{2}=(\sqrt{x}-x)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x-2\sqrt{(2x-1)(x^{2}-x+1)}=x^{2}+x-2x\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)(x^{2}-x+1)}=x\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow (2x-1)(x^{2}-x+1)=x^{3}$

$\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-1=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^{3}=0$

$\Leftrightarrow x=1$

[nthoangcute]

b) Biết p là số nguyên tố thỏa mãn: $p^{3}-6$ và $2p^{3}+5$ là các số nguyên tố. Chứng minh rằng $p^{2}+10$ cũng là số nguyên tố

Ta có: Nếu $p=2$ thì vô lý suy ra $p \neq 2$ hay $p \geq 3$, $p$ lẻ
Nếu $p=14k+1$ thì $2p^3+5=5488k^3+1176k^2+84k+7=7(784k^3+168k^2+12k+1)$ suy ra vô lý
Nếu $p=14k+3$ thì $p^3-6=7(392k^3+252k^2+54k+3)$ suy ra vô lý
Nếu $p=14k+5$ thì $p^3-6=7(392k^3+420k^2+150k+17)$ suy ra vô lý
Nếu $p=14k+7$ thì $p$ chia hết cho 7 suy ra $p=7$. Thử lại thỏa mãn
Nếu $p=14k+9$ thì $2p^3+5=7(784k^3+1512k^2+972k+209)$ suy ra vô lý
Nếu $p=14k+11$ thì $2p^3+5=7(784k^3+1848k^2+1452k+381)$ suy ra vô lý
Nếu $p=14k+13$ thì $p^3-6=7(392k^3+1092k^2+1014k+313)$ suy ra vô lý
Tóm lại $p=7$
Suy ra $p^{2}+10=59$ cũng là số nguyên tố

[nthoangcute]

$\sqrt{2x-1}+x=\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$

$\sqrt{2x-1}+x=\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=\sqrt{x}-x$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}-\sqrt{x^{2}-x+1})^{2}=(\sqrt{x}-x)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x-2\sqrt{(2x-1)(x^{2}-x+1)}=x^{2}+x-2x\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)(x^{2}-x+1)}=x\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow (2x-1)(x^{2}-x+1)=x^{3}$

$\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-1=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^{3}=0$

$\Leftrightarrow x=1$

Anh Trọng ơi
Dùng dấu "Tương đương" là sai về mặt bản chất rùi
Khi bình phương 2 vế ta phải xét chứ
Nếu dùng cách anh thì đến chỗ bình phương 2 vế phải là dấu "suy ra"
Sau đó phải thử lại

[nthoangcute]

Câu 4:
Cho 2012 số nguyên dương $x_{1},x_{2},...x_{2011},x_{2012}$ thỏa mãn điều kiện sau: $\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+....+\frac{1}{\sqrt{x_{2011}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2012}}}= 125$. Chứng minh rằng trong 2012 số nguyên dương trên có ít nhất 3 số bằng nhau.

Giả sử chỉ tồn tại ít hơn 3 số bằng nhau trong các số dương đã cho
Khi đó :
$125=\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+....+\frac{1}{\sqrt{x_{2011}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2012}}}$
$ \leq 1+1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}$
Áp dụng BĐT sau:
$\frac{1}{\sqrt{n}}<\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ ta được
$1+1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}$
$<1+1+(\sqrt{3}-\sqrt{1})+(\sqrt{4}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{2012}-\sqrt{2010})$
$=2+(\sqrt{2012}+\sqrt{2011}-\sqrt{2}-\sqrt{1})$
$<125$
Suy ra vô lý
Vậy:...

[beppkid]

Giả sử chỉ tồn tại ít hơn 3 số bằng nhau trong các số dương đã cho
Khi đó :
$125=\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+....+\frac{1}{\sqrt{x_{2011}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2012}}}$
$ \leq 1+1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}$
Áp dụng BĐT sau:
$\frac{1}{\sqrt{n}}<\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ ta được
$1+1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}$
$<1+1+(\sqrt{3}-\sqrt{1})+(\sqrt{4}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{2012}-\sqrt{2010})$
$=2+(\sqrt{2012}+\sqrt{2011}-\sqrt{2}-\sqrt{1})$
$<125$
Suy ra vô lý
Vậy:...

kết quả ko chặt lắm, với lại có thể có 2 số = nhau
cách khác: http://diendantoanho...showtopic=71286