Chủ đề này có 11 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

BTC yêu cầu MSS14 ra đề vào topic này. Sau khi đánh máy đề, phải nhấn nút Chấp nhận để để được hiện lên.
Nhớ đọc kĩ chủ đề trước khi ra đề

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa

b. Luật Loại trực tiếp: Luật chỉ áp dụng khi có $n >20$ toán thủ tham gia thi đấu.
- Sau mỗi trận, $k$ toán thủ có số điểm ít nhất sẽ bị loại. Trong trường hợp có nhiều toán thủ cùng điểm số, toán thủ nào có thời gian bỏ thi đấu dài nhất sẽ ưu tiên bị loại.
$$k=\frac{\left \{(n-10) - [(n-10) \mod 10] \right \}}{10}$$
- Toán thủ bị loại sẽ không đuợc đăng kí lại
- Khi Chỉ còn 20 toán thủ, Luật này ko còn hiệu lực

BTC lưu ý:
1) trận 10 có 30 toán thủ tham gia nên sau trận này, 02 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

[daovuquang]

Cho $\triangle{ABC}$. Dựng ra ngoài 3 tam giác $\triangle{ABC'},\triangle{BCA'},\triangle{CAB'}$ sao cho chúng đồng dạng với nhau. Chứng minh rằng $\triangle{ABC}$ và $\triangle{A'B'C'}$ có cùng trọng tâm.

[phantomladyvskaitokid]

Dựng hình bình hành BICA'

Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC, B'C'; G là giao của A'N và AM

$\vartriangle BIC=\vartriangle CA'B\Rightarrow \vartriangle BIC \sim \vartriangle AB'C\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{BCI}=\widehat{ACB'} & & \\ \frac{IC}{BC} =\frac{B'C}{AC}& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \vartriangle IB'C\sim \vartriangle BAC(c.g.c)$

do đó $\frac{IB'}{B'C}=\frac{AB}{AC}=\frac{AC'}{B'C}\Rightarrow IB'=AC'$

c/m tương tự ta đc $AB'=C'I$

suy ra AC'IB' là hình bình hành $\Rightarrow$ N là trung điểm của AI

$\vartriangle AIA'$ có trung tuyến AM và A'N cắt nhau tại G nên G là trọng tâm $\vartriangle AIA'$

$\Rightarrow \frac{AG}{AM}=\frac{A'G}{A'N}=\frac{2}{3}$

do đó G là trọng tâm của tg ABC và A'B'C' (đpcm)

Mở rộng

Gọi D, E, F lần lượt là chân đg vg góc hạ từ A', B', C' xuống BC, CA, AB thì G cũng là trọng tâm tg DEF

p/s: k thấy kí hiệu đồng dạng nên dùng ~

Một số lỗi lý luận nhỏ và trình bày. Sao không thấy lời chứng minh cho mở rộng?
D-B=8.8h
E=10
F=0
S=69.2

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-04-2012 - 07:35

[nthoangcute]

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
I, K lần lượt là trung điểm CC', B'C'.
G là trọng tâm tam giác ABC
Vì $\triangle{ABC'},\triangle{BCA'},\triangle{CAB'}$ sao cho chúng đồng dạng với nhau.
Khi đó $\Delta$CC'B' có đường trung bình KI.
Suy ra KI song song với B'C và $KI=\frac{B'C}{2}$
Tương tự EI song song với AC' và $KI=\frac{AC'}{2}$
Vậy ta có:
$\widehat{KIE}=\widehat{C'IE}-\widehat{C'IK}$
$=180^o-\widehat{AC'C}-\widehat{C'CB'}$
$=180^o-(\widehat{AC'C}+\widehat{C'CB})$
$=180^o-(360^o-\widehat{C'AB'}-\widehat{B'CC'})$
$=\widehat{C'AB'}+\widehat{B'CC'}-180^o$
$=(\widehat{C'AB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAB'})-(180^o-\widehat{B'AC}-\widehat{B'CA})-180^o$
$=\widehat{BAC}$ (do $\widehat{C'AB}=\widehat{B'CA}$ vì $\Delta$ACB' đồng dạng với $\Delta$BAC')
Ta lại có:
$\frac{KI}{IE}=\frac{B'C}{AC'} =\frac{AC}{AB}$ (vì $\vartriangle ACB' \sim \vartriangle BAC'$)
Xét $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle IEK$ có:
$\widehat{BAC}=\widehat{KIE}$
$\frac{KI}{IE}=\frac{AC}{AB}$
suy ra $\vartriangle ABC \sim \vartriangle IEK$
$\Rightarrow \frac{KE}{BC}=\frac{EI}{AB}=\frac{AC'}{2AB}=\frac{BA'}{2BC}$
Tương tự $\frac{KF}{BC}=\frac{CA'}{BC}$
$\Rightarrow \frac{KE}{KF}=\frac{A'B}{A'C}$
Lại có:
$\widehat{B'KE}=\widehat{IKB'}-\widehat{IKE}=180^o-\widehat{C'B'C}-\widehat{ACB}$
Tương tự $\widehat{C'KF}=180^o-\widehat{B'C'B}-\widehat{ABC}$
$\to \widehat{B'KE}+\widehat{C'KF}=360^o-\widehat{C'B'C}-\widehat{B'C'B}-\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$
$=(\widehat{C'B'C}+\widehat{B'C'B}+\widehat{C'BC}+\widehat{B'CB})-\widehat{C'B'C}-\widehat{B'C'B}-\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$
$=\widehat{ABC'}+\widehat{ACB'}$
$=\widehat{CBA'}+\widehat{BCA'}$
$=180^o-\widehat{BA'C}$
Suy ra $\widehat{EKF}=\widehat{BA'C}$
Do đó $\vartriangle KEF \sim \vartriangle A'BC \Rightarrow \widehat{KEF}=\widehat{CBA'}$
Mà $\widehat{FEB}=\widehat{EBC}$ (do $EF \parallel BC$)
$\Rightarrow \widehat{KEB}=\widehat{EBA'} \Rightarrow KE \parallel A'B$
mà $\frac{KE}{A'B}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$ (do $\vartriangle KEF \sim \vartriangle A'BC$)
và $\frac{GE}{GB}=\frac{1}{2} \Rightarrow$ G thuộc A'K
Tương tự G thuộc đường trung tuyến kẻ từ B', C' của tam giác A'B'C'.
Hay G cũng là trọng tâm $\Delta A'B'C' (Đpcm)

Tuyệt đối không viết tắt trong thi cử (trừ những từ được cho phép). Trong đoạn chứng minh $\angle KIE=\angle B'CA$, có 1 đoạn em viết sai tên góc, sau lại ra kết quả đúng???
Và chỗ chứng minh $G \in [A'K]$, không hề có định lý nào trong SGK nói về cách dùng đó cả.
Em phải viết là
Kết hợp $\angle KEG=\angle A'BG \Rightarrow \vartriangle A'BG \sim \vartriangle \vartriangle KEG(c.g.c)$
$\Rightarrow \angle A'GB=\angle EGK \Rightarrow \angle EGK+\angle BGK=\angle A'GB+\angle BGK=180^o$
$\Rightarrow$ K,G,A' thẳng hàng.
========================
D-B=8.9h
E=8.5
F=10
S=74.6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-04-2012 - 07:33

[daovuquang]

Đã có 2 thành viên nộp bài: phantomladyvskaitokid, nthoangcute.

[hell angel 97]

Bổ sung bài giải
Áp dụng bổ đề:2 tam giác ABC vs A'B'C' có cùng trọng tâm khi $\vec{AA'}=\vec{BB'}=\vec{CC'}$
_____________________________


Theo đề bài các điểm A',B',C' nằm ngoài tam giác.
MR:Cho $\Delta BAC$.Trên cạnh AB,AC,BC lần lượt lấy các điểm C',B',A' sao cho
$\dfrac{AC'}{BC'}=\dfrac{BA'}{CA'}=\dfrac{CB'}{AB'}$
Chứng minh rằng 2 tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm
C/m:
Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của A'B', K là giao điểm của AM và C'I.
Vẽ B'F\\AB
$\dfrac{BA'}{BC}=\dfrac{CB'}{CA}=\dfrac{CF}{BC}$.
Suy ra: $BA'=CF \Rightarrow A'M=MF$
$\dfrac{B'F}{AB}=\dfrac{CB'}{CA}=\dfrac{C'A}{BA}$
Suy ra B'F=C'A
I là trung điểm của A'B'; M là trung điểm của A'F. Suy ra C'A=B'F=2MI & MI\\ B'F \\ C'A
$\dfrac{C'A}{MI}=\dfrac{AK}{MK}=\dfrac{KC'}{KI}=2$
K thuộc AM, AK=2KM suy ra K là trọng tâm của $\bigtriangleup{ABC}$; K thuộc C'I, CK=2KI
suy ra K là trọng tâm của $\bigtriangleup{A'B'C'}$
Suy ra tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm
(Các bạn tự vẽ hình nha!Còn cách khác dùng vecto t.t bài đầu)

Không dùng cách cấp 3 trong THCS.
S=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-04-2012 - 07:36

[nthoangcute]

Cho $\triangle{ABC}$. Dựng ra ngoài 3 tam giác $\triangle{ABC'},\triangle{BCA'},\triangle{CAB'}$ sao cho chúng đồng dạng với nhau. Chứng minh rằng $\triangle{ABC}$ và $\triangle{A'B'C'}$ có cùng trọng tâm.

Ta có mở rộng như sau:
MR1: Cho $\triangle{ABC}$. Dựng bên trong 3 tam giác $\triangle{ABC'},\triangle{BCA'},\triangle{CAB'}$ sao cho chúng đồng dạng với nhau. Chứng minh rằng $\triangle{ABC}$ và $\triangle{A'B'C'}$ có cùng trọng tâm.
Hướng giải quyết:

Cũng gọi điểm như bài làm của tớ ở trên:

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
I, K lần lượt là trung điểm CC', B'C'.
G là trọng tâm tam giác ABC

Từ đó ta chứng minh được: $\Delta$ABC và $\Delta$IEK đồng dạng với nhau.
Rồi $\Delta$KEF đồng dạng với $\Delta$A'BC
Cách chứng minh gần giống bài làm gốc.
Dần dần ta được G thuộc A'K
CMTT G thuộc đường trung tuyến kẻ từ B', C' của tam giác A'B'C'.
Hay G cũng là trọng tâm $\Delta A'B'C'

[NLT]

Cách giải thứ 2 của em như sau:


Trong miền tam giác ABC, lấy D sao cho BA'CD là hình bình hành.
Vì các tam giác AB'C,BCA',BC'A đồng dạng với nhau(giả thiết) nên:

• $\widehat{ACB'} = \widehat{CBA'} = \widehat{BCD}$ (Kết hợp với BA'CD là hình bình hành)

Suy ra: $\widehat{ACB'} + \widehat{ACD} = \widehat{BCD} + \widehat{ACD} \Leftrightarrow \widehat{DCB'} = \widehat{ACB}$

• $\frac{{B'C}}{{AC}} = \frac{{A'B}}{{BC}} = \frac{{CD}}{{BC}}$ (Vì BA'CD là hình bình hành nên A'B=CD)

Xét tam giác B'DC và ABC, ta có:
$\widehat{DCB'} = \widehat{ACB}$

$\frac{{B'C}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{BC}}$
Suy ra: $\vartriangle B'DC\sim \vartriangle ABC$ (c.g.c)
Tương tự: $\vartriangle C'BD\sim \vartriangle ABC$
$\vartriangle B'DC\sim \vartriangle C'BD$
$\Rightarrow \widehat{DC'B} = \widehat{DB'C}$
Mà: $\widehat{AB'C} = \widehat{BC'A}$ (do 2 tam giác AB'C và BC'A đồng dạng(gt))
Suy ra: $\widehat{AB'C} - \widehat{DB'C} = \widehat{BC'A} - \widehat{DC'B} \Leftrightarrow \widehat{AB'C} = \widehat{DC'A}$ (1)
Mặt khác:
$\widehat{B'CD} = 360^o - \widehat{DBC'} - \widehat{B'DC} - \widehat{BDC}$
$ = 360^o - \widehat{ACB} - \widehat{ABC} - \left( {180^o - \widehat{DBC} - \widehat{DCB}} \right)$
$ = \left( {180^o - \widehat{ACB} - \widehat{ABC}} \right) + \widehat{B'AC} + \widehat{C'AB}(do\,\widehat{B'AC} = \widehat{DBC};\widehat{C'AB} = \widehat{DCB})$
$ = \widehat{BAC} + \widehat{B'AC} + \widehat{C'AB} \Rightarrow \widehat{B'CD} = \widehat{B'AC'}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB'DC' là hình bình hành.
Gọi E là giao điểm của AD và B'C' thì E là trung điểm của B'C'; gọi F là giao điểm của DA' và BC thì F là trung điểm của BC. Gọi G là giao điểm của AF và A'E.
Dễ thấy EF là đường trung bình của tam giác ADA'(Vì E là trung điểm AD, F là trung điểm A'D) nên AA'=2EF và EF song song với AA'.
Theo Thales, ta có:
$\frac{{AM}}{{MF}} = \frac{{A'M}}{{ME}} = \frac{AA'}{EF} = 2$
Từ $\frac{{AM}}{{MF}} = 2$ suy ra $\frac{{AM}}{{AF}} = \frac{2}{3}$. Mà AF là trung tuyến của tam giác ABC nên ta suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. Tương tự, G là trọng tâm tam giác A'B'C'. Từ đó ta có đpcm.

D-B=45.3h
E=10
F=0
S=32.7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-04-2012 - 10:25

[daovuquang]

Lời giải:
Bổ đề: Cho $\triangle{ABC}$ và $\triangle{AB'C'}$ có trung điểm $M$ của $BC$ và $B'C'$ trùng nhau. CMR 2 tam giác này cùng trọng tâm.

Xét $G$ là trọng tâm $\triangle{ABC}\Rightarrow G\in AM; GA=\frac{2}{3}AM.$
Xét $G'$ là trọng tâm $\triangle{A'B'C'}\Rightarrow G'\in AM; G'A=\frac{2}{3}AM.$
$\Rightarrow G\equiv G'\Rightarrow$ đpcm.
Quay trở lại bài toán:

Lấy điểm $M$ sao cho $MBCA'$ là hình bình hành. Ta sẽ chứng minh $MC'AB'$ cũng là hình bình hành.
Thật vậy, $MBCA'$ là hình bình hành$\Rightarrow \triangle{BCA'}=\triangle{CMB}\Rightarrow \triangle{CBM}\sim\triangle{CAB'} (1)$
$\Rightarrow \angle{MCB}=\angle{ACB'}\Rightarrow \angle{ACB}=\angle{B'CM} (2).$
Mặt khác, từ $(1)\Rightarrow \frac{MC}{B'C}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow \frac{MC}{BC}=\frac{B'C}{AC} (3).$
Từ $(2),(3)\Rightarrow \triangle{B'CM}\sim\triangle{ACB} (c.g.c)\Rightarrow \frac{MB'}{AB}=\frac{B'C}{AC}\Rightarrow \frac{MB'}{B'C}=\frac{AB}{AC}.$
Mà theo gt, $\triangle{ABC'}\sim\triangle{CAB'}\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AC'}{B'C}\Rightarrow MB'=AC'.$
Chứng minh tương tự, ta được $MC'=AB'\Rightarrow MC'AB'$ là hình bình hành.
Áp dụng bổ đề trên, ta thấy:
$\triangle{AMA'}$ và $\triangle{ABC}$ có chung trọng tâm
$\triangle{AMA'}$ và $\triangle{A'B'C'}$ có chung trọng tâm
$\Rightarrow \triangle{ABC}$ và $\triangle{A'B'C'}$ có chung trọng tâm$\Rightarrow$ đpcm.

[perfectstrong]

Điểm cho MSS14 daovuquang:
C-B=8.8h
B-A=9h
H=26
I=1
$D_{rd}=80.2$
=========================
Bài trận này nhẹ nhàng, không quá khó cũng không quá dễ
Tuy vậy, nhiều MSSer không tham gia. Bận thi học kì chăng?
Nhắc nhở các MSSer học trước chương trình: không dùng kiến thức cấp 3 vào cấp 2, đặc biệt là các kì thi. Mất điểm như chơi!
=========================

TỔNG HỢP ĐIỂM TRẬN 10
MSS02: Cao Xuân Huy
MSS03: yeutoan11
MSS04: nguyenta98ka
MSS05: Secrets In Inequalities VP
MSS06: maikhaiok
MSS08: bong hoa cuc trang
MSS09: minhtuyb
MSS10: duongld[35.2]
MSS14: daovuquang
MSS16: Nguyễn Hữu Huy
MSS17: princeofmathematics[32.7]
MSS19: Kir
MSS21: nthoangcute[74.6]
MSS22: nth1235
MSS24: ToanHocLaNiemVui
MSS25: anhhuyen6c
MSS26: sherlock holmes 1997
MSS27: Cuong Ngyen
MSS28: tranhydong
MSS29: tieulong10
MSS30: phantomladyvskaitokid[69.2]
MSS31: landautienkhigapem
MSS32: tson1997
MSS33: WhjteShadow
MSS34: hieuht2012
MSS35: reddevil1 23
MSS36: vtduy97
MSS37: hell angel 97[0]
MSS38: langtuthattinh
MSS39: danganhaaaa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-04-2012 - 10:26

[minhtuyb]

TH1:$B',C,A'$ thẳng hàng. $B', A, C'$ thẳng hàng và $A', B, C'$

tam giác $A'BC$ , tam giác $C'AB$ và tam giác $B'CA$

Ta có:

$\frac{C'B}{C'A'}=\frac{B'A}{B'C'}=\frac{A'C}{A'B'}$ (Tại sao lại có???)

Vẽ $BF//A'B'$

Theo định lý Thales ta được:

$\frac{C'F}{B'C'}=\frac{C'B}{A'C'}=\frac{B'A}{B'C'}$

$\Rightarrow C'F=B'A$

$\Rightarrow AM=MF$


Theo hệ quả của định lý Thales ta lại có:

$\frac{BF}{A'B'}=\frac{C'B}{C'A'}=\frac{CA'}{A'B'}$

$\Rightarrow BF=CA'$

$I$ là trung điểm của $AB$; $M$ là trung điểm của $AF$

nên $MI$ là đường trung bình của tam giác $ABF$

$\Rightarrow CA'=BF=2MI$ và $MI//BF//CA'$

$\frac{CA'}{MI}=\frac{A'K}{MK}=\frac{KC}{KI}=2$

$K$ thuộc $AM$, $AK=2M$ nên $K$ là trọng tâm tam giác $A'B'C'$ .(1)

$K$ thuộc $CI$, $CK=2IK$ nên $K$ là trọng tâm tam giác $ABC$ (2)

Từ (1)và(2) suy ra 2 tam giác có chung 1 trọng tâm



TH2: không có ba điểm thẳng hàng






Nối các điểm tạo thành tam giác $DFE$

Chứng minh tam giác $ABC$ và tam giác $A'B'C'$ lần lượt có cùng trọng tâm với tam giác $DFE$

Lời chứng minh có ý tưởng hay. Nhưng ở TH2, chưa chứng minh trọn vẹn. Em đâu đã chứng minh được những gt cần có để áp dụng TH1?

D-B=33.8h
E=7
F=0
S=35.2

Ặc. Gì vậy?
Thứ nhất :Cm hộ mình 2 cái này:
$\frac{AF}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{CE}{AC}$ và $\frac{B'F}{B'C'}=\frac{C'D}{C'A'}=\frac{A'E}{A'B'}
Nếu không cm được 2 cái này, không thế nói là phép cm đã hoàn tất! (Chủ quan mình thấy điều này sai, không thể cm được! )
Thứ hai: đề bài cho là dựng 3 tam giác thì lấy đâu ra $B',C,A'$ thẳng hàng. $B', A, C'$ thẳng hàng và $A', B, C'$? TH1 của bạn chỉ được tính là bổ đề thôi
Mong trọng tài chính xem xét lại!
P/s: Bài này nhẹ nhàng ý ạ

[perfectstrong]

Ặc. Gì vậy?
Thứ nhất :Cm hộ mình 2 cái này:
$\frac{AF}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{CE}{AC}$ và $\frac{B'F}{B'C'}=\frac{C'D}{C'A'}=\frac{A'E}{A'B'}
Nếu không cm được 2 cái này, không thế nói là phép cm đã hoàn tất! (Chủ quan mình thấy điều này sai, không thể cm được! )
Thứ hai: đề bài cho là dựng 3 tam giác thì lấy đâu ra $B',C,A'$ thẳng hàng. $B', A, C'$ thẳng hàng và $A', B, C'$? TH1 của bạn chỉ được tính là bổ đề thôi
Mong trọng tài chính xem xét lại!
P/s: Bài này nhẹ nhàng ý ạ

Anh hiểu ý em, anh xem cách giải của bạn ấy và cho điểm vì "bổ đề" hay của bạn ấy. Vẫn trừ điểm đấy chứ em:D