PHẦN 1 - SƠ LƯỢC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Chúng ta bắt đầu bằng cách nhắc lại một số kiến thức liên quan đến đại số tuyến tính. Lý thuyết ở đây, tất nhiên không được nêu lên một cách tổng quát, nhưng đơn giản và thích hợp với cuộc thảo luận của chúng ta.
Ký hiệu tập hợp của tất cả các số thực là $\mathbb{R}$. Một $\textit{vector}$ có chiều dài $n$ là một danh sách có $n$ phần tử, còn được gọi là $\textit{vector cột}$. Ký hiệu vector $v$ có các phần tử $x_1 , x_2 , ..., x_n$ như sau:
$$v=\begin{bmatrix}x_1\\x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}$$
Ví dụ 1: Các phần tử của một vectơ nguyên tắc có thể được bất cứ điều gì: từ ngữ, màu sắc, số, ... Sau đây là những ví dụ của vectơ:
$$\begin{bmatrix}I \\ am \\ a \\ vector\end{bmatrix};\begin{bmatrix}{\color{Red}{Red}}\\{\color{Blue}{Blue}}\\{\color{Green}{Green}}\end{bmatrix};\begin{bmatrix}1.1\\0 \\ 13.5\end{bmatrix};\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix};\begin{bmatrix}X\\ O\\ X\\ O\\ X\end{bmatrix}$$
Tuy nhiên, chúng ta sẽ chỉ nhìn vào vector có phần tử là các số thực (có nghĩa là $x_1 , x_2 , ..., x_n$ là các số thực). Như trong trường hợp các số thực, vectơ thực sự có thể được thêm vào hoặc nhân bởi một số thực (được gọi là vô hướng ) một cách đơn giản:
Phép cộng:
$$\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \vdots \\ x_n+y_n\end{bmatrix}$$
Phép nhân:
$$a.\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a.x_1\\ a.x_2\\ \vdots \\ a.x_n\end{bmatrix}$$
Ví dụ 2: Theo ký hiệu hai ở trên, chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra xem:
$$\begin{bmatrix}1.14\\ 5\\ \pi\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\ -1.86\\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3.14\\ 3.14\\ \pi\end{bmatrix}; \pi .\begin{bmatrix}1\\ 5\\ \dfrac{1}{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pi\\ 5\pi\\ \dfrac{\pi}{2}\end{bmatrix}$$
Bài toán 1:
1. Liệu có thể nhân hai vectơ? Làm thế nào để cộng vectơ độ dài khác nhau?
2. Có bao nhiêu vectơ có độ dài 5 với phần tử số nguyên đó? Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta yêu cầu rằng tất cả các phần tử khác nhau?
Theo cách tương tự, chúng ta định nghĩa khái niệm một ma trận . Một ma trận $m \times n$ là một mảng hình chữ nhật có chiều cao $m$ và chiều rộng $n$ . Điều này cũng có thể được xem như là xếp $m$ vectơ $n$ chiều liên tiếp (các vectơ có thể khác nhau hoặc không). Một lần nữa, các phần tử là các số thực. Chúng ta biểu thị $A$ là ma trận $m \times n$ với các phần tử $a_{ij}$ như sau:
Điều này có nghĩa rằng trên hàng $i$ và cột $j$, chúng ta tìm thấy số thực $a_{ij}$ . Ví dụ, trên hàng đầu tiên, cột thứ hai nằm ở phần tử $a_{12}$. Chú ý rằng một vector $m$ chiều chỉ là một ma trận $m \times 1$ và một số thực sự là một ma trận $1\times 1$ . Nếu $m = n$ thì ma trận được gọi là một ma trận vuông , kích thước $n$ . Đây là những gì chúng ta sẽ xem xét từ bây giờ. Nó giúp cho việc bây giờ để nói về đường chéo của một ma trận, trong đó bao gồm những phần tử mà số hàng bằng số cột (các phần tử, $a_{11} , a_{22} , …, a_{nn}$ ).
Ví dụ 3: Sau đây là những ví dụ của các ma trận, nhưng chỉ có ba ma trận vuông:
$$\begin{bmatrix}1 &0 \\2 &-3 \\ 4& 7\end{bmatrix};\begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 & 1\\ 0 &0 \\ 0 & 0\end{bmatrix};\begin{bmatrix}0& 0&1 \\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{bmatrix};\begin{bmatrix}a &b \\b &a \end{bmatrix};\begin{bmatrix} 5& -1& 11\\ -1& 0& 3\\ 11& 3& 9\end{bmatrix}$$
Chú ý rằng hai ma trận cuối là "đặc biệt": chúng là các ma trận đối xứng. Điều này có nghĩa là phần tử trên hàng $i$ và cột $j$ bằng phần tử trên hàng $j$ cột $i$ (hoặc nếu không nói $a_{ij} = a_{ji}$ ). Như một bài tập dễ dàng, chứng minh rằng bất kỳ ma trận đường chéo (có số không ở khắp mọi nơi, ngoại trừ trên đường chéo) là đối xứng. Các ma trận có những đường chéo và số không ở khắp mọi nơi khác được gọi là ma trận đồng nhất và được ký hiệu là $I$ . Phép nhân ma trận được thực hiện theo cách chung sau đây:
Ở đó mà các phần tử $c_{ij}$ được cho bởi công thức:
$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}.b_{kj}=a_{i1}.b_{1j}+a_{i2}.b_{2j}+...+a_{in}.b_{nj}$$
Nhân một ma trận với một véc tơ được thực hiện như sau:
mọi phần tử $y_i$ kết quả từ các vector được cho bởi công thức
$$y_{i}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}.x_{k}=a_{i1}.x_{1}+a_{i2}.x_{2}+...+a_{in}.x_{n}$$
Hai hoạt động ma trận khác, cộng và phép nhân vô hướng, được thực hiện như trong trường hợp của vectơ. Cộng ma trận $A$ và $B$ đưa ra một ma trận $C$ trong đó có các phần tử trên hàng $i$ và cột $j$ bằng tổng của các phần tử tương ứng của $A$ và $B$ . Nhân ma trận $A$ với một số thực $A$ là giống như nhân mọi phần tử của $A$ với $A$ .
Ví dụ 4: Tất cả các hoạt động trên ma trận sẽ trở nên rõ ràng hơn thông qua các ví dụ sau đây:
$$\begin{bmatrix}0&0 &1 &1 \\ 1& 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 &1 \\ 1 & 1 &0 &0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}12\\4 \\9 \\6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}15\\12 \\22 \\16\end{bmatrix};\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}0 &1 \\ 2 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 7\\ 8 & 15\end{bmatrix}$$
Bài toán 2: Xem xét các ma trận sau đây:
$$A=\begin{bmatrix}1& 1 & 1\\ 1&1 &2 \\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}; B = \begin{bmatrix}\sqrt3 &1 &0 \\0 &\sqrt2 &1 \\1 &0 &1 \end{bmatrix};C=\begin{bmatrix}1&1 &0 \\ 1 & 1 &0 \\ 1 &2 &0 \end{bmatrix}$$
1. Tìm $A + B$ , $B - C$ và $A- B$ ?
2. Chứng minh $(A+ B) + C = A+(B+ C)$ và $(A .B ).C = A . (B .C)$.
3. Tìm tích của $A$ với cột đầu tiên của $C$ .
Định lý 1: Đối với bất kỳ ma trận $A$ , $B$ , $C$ có cùng kích thước, ta có:
$$(A+B).C=A.C+B.C;C. (A+B ) = C.A+C.B$$ .
Ta có thể quan sát rằng có một sự tương tự giữa các ma trận $A$ và $C$ trong Vấn đề 2. ở trên. Sự tương tự xuất phát từ thực tế rằng phần tử trên hàng $i$ và cột $j$ trong ma trận $A$ bằng các phần tử trên hàng $j$ và cột $i$ trong ma trận $C$ . Tất nhiên, các phần tử trên đường chéo là như nhau. Do đó chúng ta nói rằng $A$ là transpose của $C$ , hoặc $C$ là chuyển vị của $A$ . Nói chung, đối với một ma trận $A$ , chúng ta kí hiệu chuyển vị của nó $A^t$ . Trực quan hơn, có thể đưa ra một ma trận chuyển vị của $A$ bằng cách trao đổi các phần tử ở hàng $i$ , cột $j$ với phần tử tại hàng $j$ , cột $i$ . Nếu chúng ta làm điều này hai lần chúng ta nhận thấy rằng chuyển vị của ma trận chuyển vị là ma trận ban đầu, hoặc ( $A^t )^t = A$ .
Định lý 2: Đối với bất kỳ ma trận $A$ , $B$ , ta có:
$$(A.B)^t = B^t .A^;(A+B)^t = A^t + B^t$$ .
Bây giờ chúng ta giới thiệu hai khái niệm quan trọng trong lý thuyết về ma trận: vectơ riêng và giá trị riêng. Chúng ta nói rằng số thực $z$ là một giá trị riêng cho $A$ nếu có tồn tại một vector $v$ thực $n$ chiều mà $A.v$ = $z.v$ . Khi đó vector $v$ được gọi là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng $z$ . Đây không phải là định nghĩa chung nhất, nhưng nó sẽ đủ cho các mục đích của chúng ta. Nhìn chung giá trị riêng và các vectơ riêng là phức tạp, và không có thật. Nếu chúng ta giả sử rằng $A$ là một ma trận thực đối xứng có kích thước $n$ , khi đó chúng ta biết rằng nó có $n$ giá trị riêng thực và tất cả các vectơ riêng cũng thực. Trong thực tế, một ma trận kích thước $n$ có thể có nhiều nhất là $n$ giá trị riêng thực.
Để làm cho những định nghĩa rõ ràng hơn, xem xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 5: ma trận $A=\begin{bmatrix}1 & 0\\2 &3 \end{bmatrix}$ có vectơ riêng $v=\begin{bmatrix}
0\\1 \end{bmatrix}$ , giá trị riêng $z$ = 3 tương ứng với vectơ riêng này. Thật vậy:
$$\begin{bmatrix}1 & 0\\2 &3 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3 \end{bmatrix}=3.\begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}$$
Định lý 3: Bất kỳ ma trận $A$ đều có giá trị riêng tương tự như chuyển vị của nó $At$ .
Tất nhiên, nói chung một ma trận $A$ và chuyển vị $A^t$ không có cùng các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phổ biến. Đối với các ma trận trong ví dụ trên, $A^t=\begin{bmatrix}1 &2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ có giá trị riêng $z = 3$ nhưng vectơ riêng tương ứng $u=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}$. Điều này theo tính toán dưới đây
$$\begin{bmatrix}1 & 2\\0&3 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\3 \end{bmatrix}=3.\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}$$
Một quan sát quan trọng là một ma trận $A$ trong nhiều trường hợp có nhiều hơn một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng. Các vectơ riêng có tương ứng với cùng một giá trị riêng có thể không có quan hệ với nhau. Tuy nhiên chúng có thể có liên quan, ví dụ như nếu một vectơ là tích của một số với một vectơ khác. Chính xác hơn, trong ví dụ cuối cùng, vector có các phần tử là 0 và 1 là một vectơ riêng, mà vector có phần tử là 0 và 2 cũng là một vectơ riêng. Nó là một bài tập tốt để kiểm tra điều này bằng cách tính toán trực tiếp như trong Ví dụ 5.
Ma trận $A$ được gọi là ma trận cột-ngẫu nhiên nếu tất cả các phần tử của nó lớn hơn hoặc bằng số không (không âm) và tổng của các phần tử trong mỗi cột là bằng 1. Nếu tất cả các phần tử của một ma trận không âm, khi đó chúng ta nói rằng chính nó là ma trận không âm . Hơn nữa, một ma trận dương là tất cả các phần tử của nó là số thực dương (lớn hơn không) .
Ví dụ 6: Hãy xem xét một ma trận $A$ với chuyển vị $A^t$ :
Thật dễ dàng để thấy rằng $A$ là ma trận cột-ngẫu nhiên, trong khi $A^t$ thì không. Tuy nhiên, tổng của các phần tử trên mỗi hàng của $A^t$ là bằng 1. Chúng ta thấy $z = 1$ là một giá trị riêng cho $A^t$ , tương ứng vectơ riêng $u=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}$.
Điều này là hiển nhiên vì $A^t .v = 1 . v$ . Do đó, từ định lý 3, $1$ là một giá trị riêng của ma trận $A$ và tiếp theo chúng ta muốn tìm thấy một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng này cho $A$ . Gọi $u$ là một vectơ riêng. Để tìm $u$ một cách rõ ràng chúng ta viết các phương trình
$$\begin{bmatrix}0 & 0 &1 &\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} &0 &0 &0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2}&0 &\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{2} & 0 &0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4\end{bmatrix} = 1. \begin{bmatrix}
x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}$$
Trong đó: $u= \begin{bmatrix}x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4\end{bmatrix} ;x_1;x_2; x_3; x_4$ là tất cả các số thực tế mà chúng ta chưa biết. Thực hiện phép nhân, chúng ta thấy rằng
Thay thế $x_4=\frac{1}{2}x_1$ trong phương trình thứ ba chúng ta có được $x_3=\frac{3}{4}x_1$ và do đó, các vector $u$ có dạng
$$u=\begin{bmatrix}x_1\\x_2 \\x_3 \\x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\ \frac{1}{3}.x_1 \\ \frac{3}{4}.x_1 \\ \frac{1}{2}.x_1 \end{bmatrix}=x_1.\begin{bmatrix}1\\ \frac{1}{3}\\ \frac{3}{4}\\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}=\frac{x_1}{12}.\begin{bmatrix}12\\4\\ 9\\ 6 \end{bmatrix}$$
Khi $x_1$ chỉ là một số thực (do đó là một vô hướng) chúng ta có thể $x_1 = 12$ và chúng ta đã chứng minh rằng các vector có phần tử là $12, 4, 9, 6$ (từ trên xuống dưới) là một vectơ riêng cho $A$ .
Trong phần đầu tiên của ví dụ trước chúng ta đã chỉ cho thấy $1$ là một giá trị riêng cho trường hợp cụ thể. Tuy nhiên, điều này là đúng cho bất kỳ ma trận cột ngẫu nhiên, như đã nêu dưới đây.
Định lý 4: Bất kỳ ma trận cột-ngẫu nhiên đều có $z= 1$ là giá trị riêng.
Chú ý rằng cũng vectơ riêng mà chúng ta tìm thấy trong phần thứ hai của ví dụ trên là khá "đặc biệt". Chúng ta đã chọn $x_1 = 12$ và chúng ta có được một vectơ riêng với phần tử dương. Tuy nhiên, nếu chúng ta chọn $x_1 = -12$ sau đó chúng ta có được một vectơ riêng với các số âm (nhỏ hơn 0).
Định lý 5: Với mọi ma trận cột-ngẫu nhiên dương, khi đó bất kỳ vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng $z = 1$ có hoặc chỉ phần tử dương hoặc chỉ phần tử âm.
Bài toán 3: Dễ thấy ma trận $\begin{bmatrix}\frac{1}{2} &0 \\\frac{1}{2} &1 \end{bmatrix}$ là một ma trận-cột ngẫu nhiên và có $z= 1$ là giá trị riêng. Tìm một vectơ riêng để tương ứng với giá trị riêng như vậy mà tất cả các phần tử của nó là dương.
Khi chúng ta đang làm việc với các ma trận cột-ngẫu nhiên dương, nó có thể tìm thấy một vectơ riêng $v$ liên quan đến giá trị riêng $z= 1$ mà tất cả các phần tử của nó là dương. Do đó $A.v = v$ và $v$ có mọi phần tử đều dương.
Định lý 6: Nếu $A$ là một cột ngẫu nhiên ma trận dương, khi đó có duy nhất một vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng $z = 1$ sao cho vectơ đó chỉ có 1 phần tử dương và tổng các phần tử của nó bằng 1.