) thỏa mãn:$\frac{x}{x+1}+\frac{2y}{y+1}=1$
Chứng minh: $8xy^2 \leq 1$
$\frac{x}{x+1}+\frac{2y}{y+1}=1$ Chứng minh: $8xy^2 \leq 1$
Bắt đầu bởi sakura139, 22-04-2012 - 09:08
#1
Đã gửi 22-04-2012 - 09:08
sakura139
-
- Thành viên
-
- 38 Bài viết
Binh nhất
Cho x, y (quên điều kiện ) thỏa mãn:
$\frac{x}{x+1}+\frac{2y}{y+1}=1$
Chứng minh: $8xy^2 \leq 1$
) thỏa mãn:$\frac{x}{x+1}+\frac{2y}{y+1}=1$
Chứng minh: $8xy^2 \leq 1$
#2
Đã gửi 22-04-2012 - 09:44
minh29995
-
- Thành viên
-
- 377 Bài viết
Sĩ quan
Từ đk suy ra
$\frac{1}{x+1}=\frac{2y}{y+1}$$=>\frac{y+1}{2.\left (x+1 \right )}=y$(1)
Và
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\frac{1}{y+1}$
Suy ra
$\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left (x+1 \right )(y+1)}}\leq \frac{1}{y+1}$
$\Leftrightarrow xy\leq \frac{x+1}{4\left (y+1 \right )}$ (2)
Nhân từng vế (1) và (2) có ngay đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{x+1}=\frac{2y}{y+1}$$=>\frac{y+1}{2.\left (x+1 \right )}=y$(1)
Và
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\frac{1}{y+1}$
Suy ra
$\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left (x+1 \right )(y+1)}}\leq \frac{1}{y+1}$
$\Leftrightarrow xy\leq \frac{x+1}{4\left (y+1 \right )}$ (2)
Nhân từng vế (1) và (2) có ngay đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
- sakura139, nthoangcute, ToanHocLaNiemVui và 1 người khác yêu thích
${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém
#3
Đã gửi 22-04-2012 - 11:22
ninhxa
-
- Thành viên
-
- 139 Bài viết
Trung sĩ
Có thể theo cách này:
Điều kiện tương đương với
$xy+x+2yx+2y=xy+x+y+1$
$\Leftrightarrow 2xy+y=1
\Rightarrow 2\sqrt{2xy^2} \leq 2xy+y=1
\Rightarrow 8xy^2\leq 1$
Điều kiện tương đương với
$xy+x+2yx+2y=xy+x+y+1$
$\Leftrightarrow 2xy+y=1
\Rightarrow 2\sqrt{2xy^2} \leq 2xy+y=1
\Rightarrow 8xy^2\leq 1$
- sakura139, nthoangcute và ToanHocLaNiemVui thích
Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
