1.Cho x,y,z là số thực dương và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=(x-1)(y-1)(z-1)
(Trích câu 2 đề thi năm 2012 tỉnh quảng trị lớp 11)
Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
a = x - 1 \\
b = y - 1 \\
c = z - 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = a + 1 \\
y = b + 1 \\
z = c + 1 \\
\end{array} \right.$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} \ge 2 \\
\Rightarrow \frac{1}{{1 + a}} \ge \left( {1 - \frac{1}{{1 + b}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{1 + c}}} \right) = \frac{b}{{1 + b}} + \frac{c}{{1 + c}} \ge 2\sqrt {\frac{{bc}}{{\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}} \\
\end{array}$
Tương tự:
$\frac{1}{{1 + b}} \ge 2\sqrt {\frac{{ca}}{{\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}}} $
$\frac{1}{{1 + c}} \ge 2\sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}} $
$ \Rightarrow abc \le \frac{1}{8}$
Vậy $\max P = \frac{1}{8}$
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa