Câu 1.
Một học sinh có $18$ tờ giấy. Anh ta chọn ra một số tờ, sau đó cắt mỗi tờ trong số vừa chọn thành $18$ mảnh. Anh ta lại lấy một số mảnh và một lần nữa cắt mỗi mảnh thành $18$ mảnh. Anh ta cứ tiếp tục như thế cho đến khi mệt. Sau một thời gian, anh ta đếm lại và thấy có $2012$ mảnh. Chứng minh rằng học sinh đã sai trong quá trình kiểm đếm.
Câu 2.
Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó bằng $90$.
Câu 3
Giả sử $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $m_a,m_b,m_c$ là độ dài các đường trung tuyến. Chứng minh rằng
$$ (m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}) = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$$
Câu 4.
Mỗi số hạng tiếp theo của dãy $1,0,1,0,1,0,...$ đều là chữ số hàng đơn vị của tổng $6$ số hạng liền trước nó. Chứng minh rằng trình tự $...0,1,0,1,0,1,...$ không bao giờ xảy ra trong dãy.
Câu 5
Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương
\[ \frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \]