Đến nội dung

Hình ảnh

Kosovo Team Selection Test 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Hình đã gửi
Câu 1.
Một học sinh có $18$ tờ giấy. Anh ta chọn ra một số tờ, sau đó cắt mỗi tờ trong số vừa chọn thành $18$ mảnh. Anh ta lại lấy một số mảnh và một lần nữa cắt mỗi mảnh thành $18$ mảnh. Anh ta cứ tiếp tục như thế cho đến khi mệt. Sau một thời gian, anh ta đếm lại và thấy có $2012$ mảnh. Chứng minh rằng học sinh đã sai trong quá trình kiểm đếm.


Hình đã gửi


Câu 2.
Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó bằng $90$.

Câu 3
Giả sử $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $m_a,m_b,m_c$ là độ dài các đường trung tuyến. Chứng minh rằng
$$ (m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}) = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$$

Câu 4.
Mỗi số hạng tiếp theo của dãy $1,0,1,0,1,0,...$ đều là chữ số hàng đơn vị của tổng $6$ số hạng liền trước nó. Chứng minh rằng trình tự $...0,1,0,1,0,1,...$ không bao giờ xảy ra trong dãy.

Câu 5
Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương
\[ \frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \]


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
Đề có vẻ chân phương thầy nhỉ :D

Câu 3
Giả sử $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $m_a,m_b,m_c$ là độ dài các đường trung tuyến. Chứng minh rằng
$$ (m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}) = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$$

Câu này hiển nhiên theo công thức sách giáo khoa phổ thông Việt Nam ;))


Câu 2.

Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó bằng $90$.

Gọi các chữ số (chưa cần kể đến thứ tự làm gì) là $a \ge b \ge c$ thì ta chặn được


\[\begin{array}{l}
1 \le c \le 5 \\
9 \ge a \ge 5 \\
\end{array}\]
Một lời giải đẹp thì em chưa nghĩ đến, nhưng trong phòng thi đơn giản có thể chia nhanh 25 trường hợp của $a, c$ như trên. Việc tính toán là cực kì đơn giản cho mỗi trường hợp nên cũng chẳng mất nhiều thời gian

#3
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Hình đã gửi
Câu 1.
Một học sinh có $18$ tờ giấy. Anh ta chọn ra một số tờ, sau đó cắt mỗi tờ trong số vừa chọn thành $18$ mảnh. Anh ta lại lấy một số mảnh và một lần nữa cắt mỗi mảnh thành $18$ mảnh. Anh ta cứ tiếp tục như thế cho đến khi mệt. Sau một thời gian, anh ta đếm lại và thấy có $2012$ mảnh. Chứng minh rằng học sinh đã sai trong quá trình kiểm đếm.


Hình đã gửi


Câu 2.
Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó bằng $90$.

Câu 3
Giả sử $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $m_a,m_b,m_c$ là độ dài các đường trung tuyến. Chứng minh rằng
$$ (m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2}) = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$$

Câu 4.
Mỗi số hạng tiếp theo của dãy $1,0,1,0,1,0,...$ đều là chữ số hàng đơn vị của tổng $6$ số hạng liền trước nó. Chứng minh rằng trình tự $...0,1,0,1,0,1,...$ không bao giờ xảy ra trong dãy.

Câu 5
Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương
\[ \frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \]


Câu 1. Nhận thấy sau mỗi lần xé số mảnh giấy tăng lên 1 số là bội của $18-1=17$ nên tổng số giấy sẽ chia 17 du 1.
Mà 2012 chia 17 du 6 nên anh này đếm sai rồi ! :icon6:

#4
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

Câu 5

Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương
\[ \frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \]


Ta thấy bộc số $(x,y,z,n)=(a,2a,2a,2a)$ với $a$ là số nguyên dương bất kì đều thoả mãn
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#5
beppkid

beppkid

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Câu 2.

Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó bằng $90$.


Cách này có vẻ ngắn hơn:
có$a^{2};b^{2};c^{2}\equiv 0;1(mod8)$
$90\equiv 2(mod8)$
$\Rightarrow$ bình phương 1 số phải chia hết cho 8
Giả sử $a^{2}\vdots 8 \Rightarrow a=0;4;8$
a=0 $\Rightarrow b=3; c=9$
a=4 $\Rightarrow b=5; c=7$
a=8 $\Rightarrow b=1; c=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi beppkid: 03-05-2012 - 17:09





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh