$S=\left ( 1+x \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )+\left ( 1+y \right )\left ( 1+\frac{1}{x} \right )\geq 3\sqrt{2}+4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 26-04-2012 - 16:47
CMR: $S=\sum (1+x)(1+\frac{1}{y})\geq 3\sqrt{2}+4$
Bắt đầu bởi ironman, 25-04-2012 - 08:03
#1
Đã gửi 25-04-2012 - 08:03
ironman
-
- Thành viên
-
- 66 Bài viết
Hạ sĩ
Cho $x> 0;y> 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$. Chứng minh rằng:
$S=\left ( 1+x \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )+\left ( 1+y \right )\left ( 1+\frac{1}{x} \right )\geq 3\sqrt{2}+4$
$S=\left ( 1+x \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )+\left ( 1+y \right )\left ( 1+\frac{1}{x} \right )\geq 3\sqrt{2}+4$
#2
Đã gửi 25-04-2012 - 16:54
Le Quoc Tung
-
- Thành viên
-
- 60 Bài viết
Hạ sĩ
Khai triển ra ta có:
$S=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}$
Sau đó dùng 2 đánh giá sau:
$x+y\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow -(x+y)\geq -\sqrt{2}$
$xy\leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow -xy\geq -\frac{1}{2}$
$2x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{2}$,$2y+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{2}$,$4xy+\frac{1}{xy}\geq 4$
Cộng theo vế suy ra điều phải chứng minh.
$S=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}$
Sau đó dùng 2 đánh giá sau:
$x+y\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow -(x+y)\geq -\sqrt{2}$
$xy\leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow -xy\geq -\frac{1}{2}$
$2x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{2}$,$2y+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{2}$,$4xy+\frac{1}{xy}\geq 4$
Cộng theo vế suy ra điều phải chứng minh.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
