Đề bài:Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$ \left(\frac{a^{2}-bc}{b-c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}-ca}{c-a}\right)^{2}+\left(\frac{c^{2}-ab}{a-b}\right)^{2}\ge 18 $$
$\sum {{{\left( {\frac{{{a^2} - bc}}{{b - c}}} \right)}^2}} \ge 18$
Bắt đầu bởi alex_hoang, 26-04-2012 - 23:33
#1
Đã gửi 26-04-2012 - 23:33
- Secrets In Inequalities VP yêu thích
#2
Đã gửi 31-07-2012 - 09:08
Làm bài này ta cần chú ý đến các hằng đẳng thúc sau :Đề bài:Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$ \left(\frac{a^{2}-bc}{b-c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}-ca}{c-a}\right)^{2}+\left(\frac{c^{2}-ab}{a-b}\right)^{2}\ge 18 $$
$\sum a^2b^3-\sum a^3b^2=(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)$
$\sum ab^4-\sum a^4b=(ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)(c-a)$
Đặt $x= \frac{a^2-bc}{b-c},y=\frac{b^2-ca}{c-a},z=\frac{c^2-ab}{a-b}$
$\Rightarrow xy+yz+zx= \frac{\sum (a^2-bc)(b^2-ca)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}= \frac{\sum a^2b^3-\sum a^3b^2+\sum a^4b-\sum ab^4}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$= -\frac{(a+b+c)^2((a-b)(b-c)(c-a))}{(a-b)(b-c)(c-a)}= -(a+b+c)^2=-9$
Suy ra :
BĐT $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 0$
( luôn đúng )
- NguyThang khtn, Poseidont, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 14-02-2013 - 22:11
e ko hiểu cái chỗ xy+yz+zx sao ra đươc như thế. a làm rõ hơn dùm e được ko. thanks
Nhox <3 HV
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh