Bài 3 Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=1$
CMR:
$\frac{10a}{1+a^{2}} + \frac{10b}{1+b^{2}} +\frac{10c}{1+c^{2}} \leqslant 9$
Bài này, bạn có thể giải như sau:
Đặt $a = x^5 ;b = y^5 ;c = z^5 \Rightarrow x,y,z > 0\& x^5 + y^5 + z^5 = 1$
BĐT cần chứng minh tương đương:
$\frac{{10x^5 }}{{x^{10} + 1}} + \frac{{10y^5 }}{{y^{10} + 1}} + \frac{{10y^5 }}{{y^{10} + 1}} \le 9(*)$
Áp dụng AM-GM cho 1 số $x^{10} $ và 9 số $\frac{1}{9}$, ta được:
$x^{10} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{9} \ge 10\sqrt[{10}]{{\frac{{x^{10} }}{{9^9 }}}} = 10\frac{x}{{3^{\frac{9}{5}} }}$
$ \Leftrightarrow x^{10} + 1 \ge 10\frac{x}{{3^{\frac{9}{5}} }} \Leftrightarrow \frac{{10x^5 }}{{x^{10} + 1}} \le 3^{\frac{9}{5}} .x^4$
Tương tự:
$\frac{{10y^5 }}{{y^{10} + 1}} \le 3^{\frac{9}{5}} .y^4 \& \frac{{10z^5 }}{{z^{10} + 1}} \le 3^{\frac{9}{5}} .y^4 $
Cộng 3 bđt thức vừa tìm được vế theo vế, ta được:
$\frac{{10x^5 }}{{x^{10} + 1}} + \frac{{10y^5 }}{{y^{10} + 1}} + \frac{{10y^5 }}{{y^{10} + 1}} \le 3^{\frac{9}{5}} \left( {x^4 + y^4 + z^4 } \right)$(1)
Đến đây, ta có bđt phụ sau:
$\left( {x^4 + y^4 + z^4 } \right)^5 \le 3\left( {x^5 + y^5 + z^5 } \right)^4 $
Lại áp dụng AM-GM cho 1 số$\frac{1}{3}$ và 4 số $\frac{{x^5 }}{{x^5 + y^5 + z^5 }}$, ta được:
$\frac{1}{3} + 4.\frac{{x^5 }}{{x^5 + y^5 + z^5 }} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{{x^{20} }}{{3\left( {x^5 + y^5 + z^5 } \right)^4 }}}} = \frac{{5x^4 }}{{\sqrt[5]{{3\left( {x^5 + y^5 + z^5 } \right)^4 }}}}$
Tương tự:
$\frac{1}{3} + 4.\frac{{y^5 }}{{x^5 + y^5 + z^5 }} \ge \frac{{5y^4 }}{{\sqrt[5]{{3\left( {x^5 + y^5 + z^5 } \right)^4 }}}}\& \frac{1}{3} + 4.\frac{{z^5 }}{{x^5 + y^5 + z^5 }} \ge \frac{{5z^4 }}{{\sqrt[5]{{3\left( {x^5 + y^5 + z^5 } \right)^4 }}}}$
Cộng 3 bđt trên vế theo vế và biến đổi, ta được:
$5 \ge \frac{{5\left( {x^4 + y^4 + z^4 } \right)}}{{\sqrt[5]{{3\left( {x^5 + y^5 + z^5 } \right)^4 }}}} \Leftrightarrow 3\left( {x^5 + y^5 + z^5 } \right)^4 \ge \left( {x^4 + y^4 + z^4 } \right)^5 $
=> BĐT phụ đúng =>$x^4 + y^4 + z^4 \le \sqrt[5]{3}$ (2)
Từ (1),(2) suy ra:
$\frac{{10x^5 }}{{x^{10} + 1}} + \frac{{10y^5 }}{{y^{10} + 1}} + \frac{{10y^5 }}{{y^{10} + 1}} \le 3^{\frac{9}{5}} \left( {x^4 + y^4 + z^4 } \right) \le 3^{\frac{9}{5}} .\sqrt[5]{3} = 9$
=> (*) đúng, từ đó ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 27-04-2012 - 12:35
