Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Ánh Xạ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 39 trả lời

#21 nguyen_hung

nguyen_hung

    Đại lãn

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Đã gửi 08-10-2005 - 04:17

Cho hỏi ngoài lề chút xíu
cùng lực lượng, đồng phôi tiếng Anh là gì vậy ?

#22 nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 08-10-2005 - 08:37

Tôi có một "nghi vấn" về ví dụ trên, mà... chưa giải quyết đuợc :P Cảm tưởng chung của tôi là ví dụ này ổn, nhưng có "vấn đề kỹ thuật" dưới đây làm cho tôi hơi... nhức đầu, mong có ai giải đáp :rose

Trường hợp này chỉ rơi vào những số hữu tỷ hữu hạn, bây giờ chấp nhận cách biểu diễn hữu hạn cho các số hữu tỷ loại này tức là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?0,5http://dientuvietnam...mimetex.cgi?0,5 chứ không là http://dientuvietnam...x.cgi?0,5000... hay http://dientuvietnam...x.cgi?0,4999... lúc đó . Như vậy có ổn chưa nhỉ !
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#23 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 08-10-2005 - 14:28

[quote name='nemo' date='Oct 8 2005, 08:37 AM'] http://dientuvietnam...imetex.cgi?0.51 là một số hữu tỷ hữu hạn. Theo quy luật mới, ta sẽ có



nhưng vế phải cũng bằng !
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#24 N.V.Minh

N.V.Minh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Đã gửi 08-10-2005 - 19:38

Chậc , hóa ra là bác TSTS muốn chỉnh sửa ax đó để nó thành song ánh . Tớ là thấp thủ nên ... gác phím :sum

Nhân tiện , tớ có 1 thắc mắc ở chỗ

Ta có thể "tham số hóa" đường cong ấy bằng một ánh xạ xác định trên [0,1].

Vậy tức là :P một song ánh liên tục từ đoạn [0,1] lên hình vuông [0,1]x[0,1] ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 08-10-2005 - 19:52

Iêu nhau trọn vẹn một tuần .
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !

#25 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 08-10-2005 - 23:31

Vậy tức là :P một song ánh liên tục từ đoạn [0,1] lên hình vuông [0,1]x[0,1] ?

Nghe qua có vẻ ghê rợn, nhưng đúng là như vậy :sum Đường cong "ngoằn ngoèo" nên song ánh không khả vi, nhưng nó liên tục.
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#26 N.V.Minh

N.V.Minh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Đã gửi 09-10-2005 - 13:05

Vậy tức là  :geq một song ánh liên tục từ đoạn [0,1] lên hình vuông [0,1]x[0,1] ?

Nghe qua có vẻ ghê rợn, nhưng đúng là như vậy :leq Đường cong "ngoằn ngoèo" nên song ánh không khả vi, nhưng nó liên tục.

Tớ tin chắc ax của bác nếu lt thì không thể là song ánh . Để dễ hình dung , một đoạn chỉ vô cùng mảnh dù rất mềm mại , co dãn rất tốt , đặt trên mặt bàn cũng không thể nào " dãn nở liên tục 1-1 " để phủ kín mặt bàn được :geq . Tuy nhiên , nếu bỏ đi đk song ánh thì thậm chí cả hình lập phương Hilbert , chứ ko chỉ các hình hộp hữu hạn chiều , cũng có thể được phủ kín bởi ảnh liên tục của 1 đoạn chỉ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 09-10-2005 - 14:11

Iêu nhau trọn vẹn một tuần .
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !

#27 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 09-10-2005 - 15:37

Tớ tin chắc ax của bác nếu lt thì không thể là song ánh .

Uuuh... Bạn nói rất đúng :geq . Mấy hôm nay tôi viết theo trí nhớ mù mờ, nhân dịp này mới kiểm lại cho kỹ thì thấy sách vở bảo rằng đường cong Peano là một self-intersecting curve, tức là nó tự cắt nó ! :cry (Điều này không thấy liền được khi xem những "phim hoạt họa" trên mạng, vì những applet này chỉ cho ta xem vài "hạng số" đầu tiên của dãy các đường cong thôi).

Vậy, đường cong Peano chỉ là một toàn ánh từ [0,1] qua [0,1] x [0,1]. Thật ra, điều này cũng đủ để chứng minh http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?C= lực lượng (cardinal). Mặt khác, vì cũng có một đơn ánh (dù là ánh xạ khác), ta suy ra .

Theo những tài liệu tôi tham khảo thì ta có thể "chỉnh sửa" đường cong Peano lại một chút, cho nó không tự cắt nó nữa. Nhưng khi ấy, ta chỉ có một song ánh liên tục giữa [0,1] và một hình "gần" [0,1] x [0,1], tức là tập hợp những điểm của hình vuông không nằm trên đường cong mới này có độ đo (measure) bằng 0. Từ ngữ được dùng trong trường hợp đó là : [0,1] gần đồng phôi (almost-homeomorphic) với [0,1] x [0,1].

Tóm lại thì câu hỏi xây dựng song ánh (không nhất thiết liên tục) giữa [0,1] và [0,1] x [0,1] vẫn còn... mở :geq
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#28 nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 09-10-2005 - 16:48

Để tránh rắc rối trong biểu diễn thập phân như anh 2TS đã nêu thử "băm" tất cả các số thực trong [0,1] thành nhị phân xem sao :geq
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#29 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 10-10-2005 - 23:33

• Chứng minh (0,1] và [0,1] cùng lực lượng nhưng không tương đương topo :geq.

[a,b] là compact còn (a,b] ko compact nên chúng ko đồng phôi . Còn lực lượng thì chúng đều có lực lượng c ( =|R| ) .

Bài tập bổ sung
1) Cm [0,1] và S^1 không đồng phôi .
2)Hỏi hình tròn , tam giác , hình chữ nhật có đồng phôi ko ?

Nếu thế thì cậu phải nói thêm là tính chất compact là topological invariant. Có 1 số tính chất của không gian không nhất thiết phải invariant dưới 1 homeomorphism.
I và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 không homeomorph vì I có thể co rút về 1 điểm, còn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 thì không.
Câu 2, tam giác của cậu định nói là cái gì thế, chỉ gồm các cạnh hay là có tính đến miền bên trong của tam giác?

#30 pizza

pizza

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Đã gửi 11-10-2005 - 13:20

Nếu thế thì cậu phải nói thêm là tính chất compact là topological invariant. Có 1 số tính chất của không gian không nhất thiết phải invariant dưới 1 homeomorphism.
I và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 không homeomorph vì I có thể co rút về 1 điểm, còn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 thì không.
Câu 2, tam giác của cậu định nói là cái gì thế, chỉ gồm các cạnh hay là có tính đến miền bên trong của tam giác?

Nếu thế thì cậu phải nói thêm là tính chất compact là topological invariant. Có 1 số tính chất của không gian không nhất thiết phải invariant dưới 1 homeomorphism

Đồng ý . Nhưng cái này đơn giản nên mình nghĩ không cần lắm .

I và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 không homeomorph vì I có thể co rút về 1 điểm, còn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 thì không.

Mình hiểu bạn muốn nói gì . Một cách tương đương , I bỏ đi 1 điểm thì có thể không liên thông nhưng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 thì không bao giờ như vậy .

Câu 2, tam giác của cậu định nói là cái gì thế, chỉ gồm các cạnh hay là có tính đến miền bên trong của tam giác?

Nó gồm cả miền bên trong , cả mấy hình còn lại cũng vậy . Mấy bài này để giải trí thôi chứ bạn học topo cao như vậy thì mấy bài này thấm gì .

Thêm bài cuối để đưa thêm 1 " ý niệm thô " của topo đại số :R^3 và R^2 có đồng phôi hay ko ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 11-10-2005 - 16:42

The world is what it is; men who are nothing , who allow themselves to become nothing , have no place in it !
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)

#31 vinhspiderman

vinhspiderman

    Tồ đại hiệp

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
  • Đến từ:Một miền đầy gió và cát biển!
  • Sở thích: Mọi thứ trừ con gái!

Đã gửi 12-10-2005 - 10:03

Chà, hôm rồi bận quá chả lên forum được tí nào, có vấn đề hay thế này mà lị, hê hê.
Vấn đề của huynh tiểu sơn tráng sĩ nói rằng có thể nào tồn tại một đường cong liên tục (gọi là Peano gì gì đó) mà chạy quét hết hình vuông đơn vị trong mặt phẳng hay không thực sự là một bài toán rất hay. Câu trả lời đúng như bạn N.V.Minh nói là không tồn tại. Hồi học năm hai, lúc học về hình vi phân và các loại tích phân đường mặt, mình cũng tự đặt ra bài toán này (chẳng hiểu là sao nó trùng lập thế, hê hê) và suy nghĩ mất mấy ngày (hồi ấy chưa biết measure theory là gì nên làm chua lòm!). Tuy nhiên bài toán này có thể giải quyết mà chẳng cần đến measure theory.

Về vấn đề ánh xạ mỗi số thực thành một số thập phân, ánh xạ đó thực ra không phải là song ánh nhưng bằng một kĩ thuật đại số nho nhỏ, người ta hoàn toàn có thể xem nó là song ánh. Hãy quan niệm rằng ánh xạ đó cho tương ứng một số thực với một cặp, cặp này chính là 2 cách biểu diễn của nó (quan niệm cũ là mỗi số thực ứng với một biểu diễn thập phân). Khi ấy ánh xạ ấy trở thành song ánh. Hơn nữa, lực lượng tập tất cả các cặp lúc ấy chính là lực lượng continum, không khó khăn gì để chứng minh rằng nó là tương đương với lực lượng tập tất cả các biểu diễn thập phân.

Thui, spiderman lại "lặn" tiếp đây, hẹn gặp lại các bác sau một thời gian "không dài lắm" nữa! Chúc mọi người vui vẻ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 12-10-2005 - 10:04

Lạy chúa!
Con không hề hoài nghi tí nào về sự hiện hữu hoài nghi của người nhưng con hoài nghi rất nhiều về sự minh mẫn và công bình của người!

#32 vinhspiderman

vinhspiderman

    Tồ đại hiệp

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
  • Đến từ:Một miền đầy gió và cát biển!
  • Sở thích: Mọi thứ trừ con gái!

Đã gửi 12-10-2005 - 13:48

Hề hề, mới chào lúc sáng mà lỡ dính vào rồi là lại ghiền quá nên quay lại!

Về vấn đề ánh xạ số thực sang biểu diễn thập phân của nó, mình túm tắt tạm một số thông tin như sau :

1) Mọi số thực đều có thể biểu diễn thành số thập phân vô hạn hoặc hữu hạn (mỗi biểu diễn thập phân về thực chất là tổng của một chuỗi.

2) Biểu diễn thập phân của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Cụ thể hơn :

(+) Với p/q là hữu tỉ,nếu q không ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 thì biểu diễn của p/q là hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ như 1=1,00...=0,99... Như vậy, trường hợp này p/q có đúng 2 biểu diễn (và người ta thường quy ước xem 2 biểu diễn đó là 1, về thực chất, một cách hình thức, xem nó như là một cặp như tôi đã nói ở trên).
(+) Nếu q có chứa ít nhất một ước nguyên tố khác 2 và 5 thì biểu diễn của p/q là vô hạn tuần hoàn. Lúc này biểu diễn này là duy nhất, không còn cách biểu diễn nào khác (đúng không nhỉ, lâu quá mình quên mất rồi, các bác kiểm tra hộ).

Về chứng minh tồn tại biểu diễn thập phân của số hữu tỉ, có thể tham khảo ở nhiều sách giải tích. Mình cũng pót lên một chứng minh trong topic "Đơn giản không?" trong room "Đại số và số học".

3) Trường hợp số vô tỉ, biểu diễn của nó là thập phân vô hạn không tuần hoàn, điều này là hệ quả của (1) và (2) nói trên. Mình không rõ là biểu diễn thập phân của số vô tỉ có duy nhất hay không (cái này người ta đã biết từ khuya rồi, do mình không quan tâm lắm thôi) nhưng theo mình đoán thì nó là duy nhất. Bác nào biết thì thêm vào hộ chỗ này.


Ánh xạ tương ứng mỗi số thực với một biểu diễn thập phân là một kĩ thuật cũng vui vui. Sau đây mình sẽ đưa ra một ví dụ áp dụng kĩ thuật này. Ví dụ này vốn là của functional analysis nhưng chẳng sao, vì thực ra các ngành toán học đều liên thông cả mà!

Ví dụ áp dụng : Hãy chứng minh rằng không gian tất cả các dãy bị chặn l là không khả ly.

Chứng minh (cách này nhờ gợi ý của BÁC Dieudonne) :
Với mỗi số thực trong [0,1] hãy cho ứng với một dãy trong l là biểu diễn thập phân của nó bởi ánh xạ nói trên. Rõ ràng dãy này là bị chặn (vì các phần tử của nó chỉ có thể là 0,1,..,9). Hơn nữa, vì ánh xạ nói trên là đơn ánh nên 2 dãy khác nhau bất kì u,v là 2 biểu diễn khác nhau, do đó theo định nghĩa thì ||u-v|| >=1. Gọi tập tất cả các dãy vừa tạo thành là S, vì S có lực lượng continum (cùng lực lượng với [0,1]) nên suy ra S "không khả ly" (chính xác là không tồn tại dãy con trù mật trong S). Từ đó suy ra không gian các dãy bị chặn cũng không khả ly.

Chứng minh này thật là đơn giản, nhưng nếu không nhờ ánh xạ nói trên để nghĩ ra chứng minh thì ... Hê hê. Bye mọi người.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 12-10-2005 - 13:50

Lạy chúa!
Con không hề hoài nghi tí nào về sự hiện hữu hoài nghi của người nhưng con hoài nghi rất nhiều về sự minh mẫn và công bình của người!

#33 prime

prime

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết

Đã gửi 12-10-2005 - 15:07

ta xây dựng song ánh như sau:(hi vọng ko sai)

dễ dàng dựng song ánh từ [0;1] đến (0;1) đến R
do đó chỉ cần dựng song ánh từ A=[0;1]*[0;1] vào R là bài toán được chứng minh.
gọi I là tập các số vô tỉ trong đoạn [0;1]
chia A và R thành 3 phần và song ánh như sau:

1) (a;b) với a,b là các số hữu tỉ tập này là đếm đựơc nên co song ánh vào tập các số hữu tỉ.

2) (a;b) với 1 số là hữu tỉ 1 số là vô tỉ sẽ cho song ánh vào tập các số vô tỉ của R mà bỏ đi tập I.
trước hết ta đánh số các số hữu tỉ trong đoạn [0;1] (tính đếm được) 1 số vô tỉ trong đoạn [0;1] biểu diễn thập phân là 0,....... = ,..... (bỏ số 0 đi để dễ kí hiệu o dưới)vô hạn kô tuần hoàn.

a là hữu tỉ còn b là vô ti

thì ảnh của (a;b) là (n+1),b vơi n là thứ tự của a
ảnh này là số vô tỉ có phân nguyên là n+1 và phần thập phân là b
ảnh của (b;a) là -n,b
nhận xét (a;b)+(b;a)=1
ảnh xác định duy nhât bởi n là số thứ tự của a là b
nên anh xạ xác định trên các bộ phận này là song ánh


3) phần còn lại của A là(a;b) với a,b vô tỉ tức là tập I*I ta cho song ánh vào phân còn lại của R là I(tập các số vô tỉ trong đoạn [0;1])
để tránh sự biểu diên như trong các hệ cơ số ta dùng sự biêu diễn qua liên phân số.
Ưu điểm của biểu diễn qya liên phân số là số hữu tỉ biểu diễn duy nhất thành liên phân số hữu hạn còn các số vô tỉ biểu diễn duy nhât là liên phân số vô hạn (ta dùng trương hợp này)

a,b :) I thì a=[0;A1,A2,...,An,...] b=[0;B1,B2,...,Bn,...]
ảnh (a;b) là [0;A1,B1,A2,B2,....,An,Bn,...] cũng là vô tỉ trong [0;1]
sự tương ứng là 1-1 nên là song ánh

Vậy bài toán được chưng minh

#34 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2005 - 12:56

hóa ra là bác TSTS muốn chỉnh sửa ax đó để nó thành song ánh

Cái mà anh nemo làm là đơn ánh, sử dụng thêm cái này (đã nhắc đến từ đầu)

định lý Cantor Berstein: nếu X,Y là 2 tập hợp, X có cùng lực lượng với 1 tập con của Y, Y có cùng lực lượng với 1 tập con của X thì X có cùng lực lượng với Y

thì việc chứng minh 2 tập tương đương đã thực hiện xong.

#35 N.V.Minh

N.V.Minh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Đã gửi 14-10-2005 - 14:34

Nếu để cm 2 tập đó tương đương về lực lượng thì xong từ lâu rồi . Cái mà mọi người đang bàn là lập 1 song ánh trực tiếp từ đoạn thẳng vào hình vuông . Thật ra , nếu dò theo cách cm đl Cantor-Berstein thì đương nhiên sẽ lập được song ánh , nhưng không " tốt " cho lắm vì sự phức tạp :varepsilon .
Iêu nhau trọn vẹn một tuần .
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !

#36 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 22-11-2005 - 22:34

Thực ra để chứng minh |X| = |Y| ta chỉ cần chứng minh tồn tại một đơn ánh từ X vào Y và 1 đơn ánh từ Y và X. Đơn ánh từ B^2 vào B được xây dựng như nemo với quy ước không dùng các số 9 liên tiếp để biểu diễn, còn đơn ánh từ B vào B^2 thì quá dễ rồi. Ở đây B = [0, 1].

#37 K09

K09

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Sở thích:Toan hoc,Tin hoc ,Lich su va NHAC CO DIEN

Đã gửi 26-11-2005 - 21:36

Không dám tranh luận nhiều về vấn đề này nhưng em cũng có một số ý kiến sau .

1\ Về chứng minh của bác prime thì dùng liên phân số là khá hay biểu diễn .. nếu em không nhầm thì cách này đúng đặc bịêt là kết hớp hai song ánh sau ta có thể xây dựng song ánh đã cho.

từ http://dientuvietnam...imetex.cgi?(0,1) đến http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=tg(\pi(x-\dfrac{1}{2}))
Từ đoạn [0,1] đến (0,1) thì như bác magic xây dựng

2\ Về bài toán có tồn tại song ánh liên tục không như mọi người nói ,thầyNam Dũng có thể cho ý kiến không vì em cũng không thấy nhắc nhiều đến .

3\ Để thiết lập song ánh đặc biệt trong các bài toán về phép đếm em thấy ấn tuwongj nhất là phương pháp xây dựng chéo như Cantor đã xây dựng để chứng minh R là không đếm được . Gần đây cũng biết thêm kiểu đánh số theo đường xoắn ốc khi chứng minh tồn tại song ánh giữa Z^2 và N ,
Maths is life. K09_PC87
Người ta sống để yêu thương và hi vọng chứ không sống để giận dữ hay thất bại.

#38 Maths68

Maths68

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 13-08-2018 - 21:35

Mọi người ơi, giúp mình tìm 1 song ánh từ tập số tự nhiên N đến tập số nguyên Z với!

#39 thienbui

thienbui

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-10-2018 - 10:47

Cũng có nhiều lời giải, mà chưa fix lại được. Những lời giải chung chung, úp lên để có đáp án mà nhiều người đang cần.



#40 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2020 - 07:33

Cho hỏi ngoài lề chút xíu
cùng lực lượng, đồng phôi tiếng Anh là gì vậy ?

 

Cùng lực lượng là "to have the same cardinality". Nói theo ngôn ngữ phạm trù thì sẽ là đẳng cấu trong phạm trù các tập hợp  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes: .

Đồng phôi chắc là "to be homeormophic to". Cái này hơi kì, vì cặp đồng cấu - đẳng cấu mang sang phạm trù không gian tô pô lại thành ra ánh xạ liên tục - đồng phôi, sang không gian khả vi lại thành ánh xạ khả vi - vi phôi. (Trước mình cứ tưởng tượng sẽ là đồng phôi - đẳng phôi, đồng vi - đẳng vi cơ, haha).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Heuristic: 18-06-2020 - 07:36





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh