Ánh Xạ
#21
Đã gửi 08-10-2005 - 04:17
cùng lực lượng, đồng phôi tiếng Anh là gì vậy ?
#22
Đã gửi 08-10-2005 - 08:37
Trường hợp này chỉ rơi vào những số hữu tỷ hữu hạn, bây giờ chấp nhận cách biểu diễn hữu hạn cho các số hữu tỷ loại này tức là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?0,5 là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?0,5 chứ không là http://dientuvietnam...x.cgi?0,5000... hay http://dientuvietnam...x.cgi?0,4999... lúc đó và . Như vậy có ổn chưa nhỉ !Tôi có một "nghi vấn" về ví dụ trên, mà... chưa giải quyết đuợc Cảm tưởng chung của tôi là ví dụ này ổn, nhưng có "vấn đề kỹ thuật" dưới đây làm cho tôi hơi... nhức đầu, mong có ai giải đáp :rose
#23
Đã gửi 08-10-2005 - 14:28
nhưng vế phải cũng bằng !
#24
Đã gửi 08-10-2005 - 19:38
Nhân tiện , tớ có 1 thắc mắc ở chỗ
Vậy tức là một song ánh liên tục từ đoạn [0,1] lên hình vuông [0,1]x[0,1] ?Ta có thể "tham số hóa" đường cong ấy bằng một ánh xạ xác định trên [0,1].
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 08-10-2005 - 19:52
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !
#25
Đã gửi 08-10-2005 - 23:31
Nghe qua có vẻ ghê rợn, nhưng đúng là như vậy Đường cong "ngoằn ngoèo" nên song ánh không khả vi, nhưng nó liên tục.Vậy tức là một song ánh liên tục từ đoạn [0,1] lên hình vuông [0,1]x[0,1] ?
#26
Đã gửi 09-10-2005 - 13:05
Tớ tin chắc ax của bác nếu lt thì không thể là song ánh . Để dễ hình dung , một đoạn chỉ vô cùng mảnh dù rất mềm mại , co dãn rất tốt , đặt trên mặt bàn cũng không thể nào " dãn nở liên tục 1-1 " để phủ kín mặt bàn được . Tuy nhiên , nếu bỏ đi đk song ánh thì thậm chí cả hình lập phương Hilbert , chứ ko chỉ các hình hộp hữu hạn chiều , cũng có thể được phủ kín bởi ảnh liên tục của 1 đoạn chỉ .Nghe qua có vẻ ghê rợn, nhưng đúng là như vậy Đường cong "ngoằn ngoèo" nên song ánh không khả vi, nhưng nó liên tục.Vậy tức là một song ánh liên tục từ đoạn [0,1] lên hình vuông [0,1]x[0,1] ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 09-10-2005 - 14:11
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !
#27
Đã gửi 09-10-2005 - 15:37
Uuuh... Bạn nói rất đúng . Mấy hôm nay tôi viết theo trí nhớ mù mờ, nhân dịp này mới kiểm lại cho kỹ thì thấy sách vở bảo rằng đường cong Peano là một self-intersecting curve, tức là nó tự cắt nó ! :cry (Điều này không thấy liền được khi xem những "phim hoạt họa" trên mạng, vì những applet này chỉ cho ta xem vài "hạng số" đầu tiên của dãy các đường cong thôi).Tớ tin chắc ax của bác nếu lt thì không thể là song ánh .
Vậy, đường cong Peano chỉ là một toàn ánh từ [0,1] qua [0,1] x [0,1]. Thật ra, điều này cũng đủ để chứng minh http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?C= lực lượng (cardinal). Mặt khác, vì cũng có một đơn ánh (dù là ánh xạ khác), ta suy ra .
Theo những tài liệu tôi tham khảo thì ta có thể "chỉnh sửa" đường cong Peano lại một chút, cho nó không tự cắt nó nữa. Nhưng khi ấy, ta chỉ có một song ánh liên tục giữa [0,1] và một hình "gần" [0,1] x [0,1], tức là tập hợp những điểm của hình vuông không nằm trên đường cong mới này có độ đo (measure) bằng 0. Từ ngữ được dùng trong trường hợp đó là : [0,1] gần đồng phôi (almost-homeomorphic) với [0,1] x [0,1].
Tóm lại thì câu hỏi xây dựng song ánh (không nhất thiết liên tục) giữa [0,1] và [0,1] x [0,1] vẫn còn... mở
#28
Đã gửi 09-10-2005 - 16:48
#29
Đã gửi 10-10-2005 - 23:33
Nếu thế thì cậu phải nói thêm là tính chất compact là topological invariant. Có 1 số tính chất của không gian không nhất thiết phải invariant dưới 1 homeomorphism.[a,b] là compact còn (a,b] ko compact nên chúng ko đồng phôi . Còn lực lượng thì chúng đều có lực lượng c ( =|R| ) .• Chứng minh (0,1] và [0,1] cùng lực lượng nhưng không tương đương topo .
Bài tập bổ sung
1) Cm [0,1] và S^1 không đồng phôi .
2)Hỏi hình tròn , tam giác , hình chữ nhật có đồng phôi ko ?
I và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 không homeomorph vì I có thể co rút về 1 điểm, còn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 thì không.
Câu 2, tam giác của cậu định nói là cái gì thế, chỉ gồm các cạnh hay là có tính đến miền bên trong của tam giác?
#30
Đã gửi 11-10-2005 - 13:20
Nếu thế thì cậu phải nói thêm là tính chất compact là topological invariant. Có 1 số tính chất của không gian không nhất thiết phải invariant dưới 1 homeomorphism.
I và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 không homeomorph vì I có thể co rút về 1 điểm, còn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 thì không.
Câu 2, tam giác của cậu định nói là cái gì thế, chỉ gồm các cạnh hay là có tính đến miền bên trong của tam giác?
Đồng ý . Nhưng cái này đơn giản nên mình nghĩ không cần lắm .Nếu thế thì cậu phải nói thêm là tính chất compact là topological invariant. Có 1 số tính chất của không gian không nhất thiết phải invariant dưới 1 homeomorphism
Mình hiểu bạn muốn nói gì . Một cách tương đương , I bỏ đi 1 điểm thì có thể không liên thông nhưng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 thì không bao giờ như vậy .I và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 không homeomorph vì I có thể co rút về 1 điểm, còn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 thì không.
Nó gồm cả miền bên trong , cả mấy hình còn lại cũng vậy . Mấy bài này để giải trí thôi chứ bạn học topo cao như vậy thì mấy bài này thấm gì .Câu 2, tam giác của cậu định nói là cái gì thế, chỉ gồm các cạnh hay là có tính đến miền bên trong của tam giác?
Thêm bài cuối để đưa thêm 1 " ý niệm thô " của topo đại số :R^3 và R^2 có đồng phôi hay ko ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 11-10-2005 - 16:42
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)
#31
Đã gửi 12-10-2005 - 10:03
Vấn đề của huynh tiểu sơn tráng sĩ nói rằng có thể nào tồn tại một đường cong liên tục (gọi là Peano gì gì đó) mà chạy quét hết hình vuông đơn vị trong mặt phẳng hay không thực sự là một bài toán rất hay. Câu trả lời đúng như bạn N.V.Minh nói là không tồn tại. Hồi học năm hai, lúc học về hình vi phân và các loại tích phân đường mặt, mình cũng tự đặt ra bài toán này (chẳng hiểu là sao nó trùng lập thế, hê hê) và suy nghĩ mất mấy ngày (hồi ấy chưa biết measure theory là gì nên làm chua lòm!). Tuy nhiên bài toán này có thể giải quyết mà chẳng cần đến measure theory.
Về vấn đề ánh xạ mỗi số thực thành một số thập phân, ánh xạ đó thực ra không phải là song ánh nhưng bằng một kĩ thuật đại số nho nhỏ, người ta hoàn toàn có thể xem nó là song ánh. Hãy quan niệm rằng ánh xạ đó cho tương ứng một số thực với một cặp, cặp này chính là 2 cách biểu diễn của nó (quan niệm cũ là mỗi số thực ứng với một biểu diễn thập phân). Khi ấy ánh xạ ấy trở thành song ánh. Hơn nữa, lực lượng tập tất cả các cặp lúc ấy chính là lực lượng continum, không khó khăn gì để chứng minh rằng nó là tương đương với lực lượng tập tất cả các biểu diễn thập phân.
Thui, spiderman lại "lặn" tiếp đây, hẹn gặp lại các bác sau một thời gian "không dài lắm" nữa! Chúc mọi người vui vẻ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 12-10-2005 - 10:04
Con không hề hoài nghi tí nào về sự hiện hữu hoài nghi của người nhưng con hoài nghi rất nhiều về sự minh mẫn và công bình của người!
#32
Đã gửi 12-10-2005 - 13:48
Về vấn đề ánh xạ số thực sang biểu diễn thập phân của nó, mình túm tắt tạm một số thông tin như sau :
1) Mọi số thực đều có thể biểu diễn thành số thập phân vô hạn hoặc hữu hạn (mỗi biểu diễn thập phân về thực chất là tổng của một chuỗi.
2) Biểu diễn thập phân của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Cụ thể hơn :
(+) Với p/q là hữu tỉ,nếu q không ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 thì biểu diễn của p/q là hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ như 1=1,00...=0,99... Như vậy, trường hợp này p/q có đúng 2 biểu diễn (và người ta thường quy ước xem 2 biểu diễn đó là 1, về thực chất, một cách hình thức, xem nó như là một cặp như tôi đã nói ở trên).
(+) Nếu q có chứa ít nhất một ước nguyên tố khác 2 và 5 thì biểu diễn của p/q là vô hạn tuần hoàn. Lúc này biểu diễn này là duy nhất, không còn cách biểu diễn nào khác (đúng không nhỉ, lâu quá mình quên mất rồi, các bác kiểm tra hộ).
Về chứng minh tồn tại biểu diễn thập phân của số hữu tỉ, có thể tham khảo ở nhiều sách giải tích. Mình cũng pót lên một chứng minh trong topic "Đơn giản không?" trong room "Đại số và số học".
3) Trường hợp số vô tỉ, biểu diễn của nó là thập phân vô hạn không tuần hoàn, điều này là hệ quả của (1) và (2) nói trên. Mình không rõ là biểu diễn thập phân của số vô tỉ có duy nhất hay không (cái này người ta đã biết từ khuya rồi, do mình không quan tâm lắm thôi) nhưng theo mình đoán thì nó là duy nhất. Bác nào biết thì thêm vào hộ chỗ này.
Ánh xạ tương ứng mỗi số thực với một biểu diễn thập phân là một kĩ thuật cũng vui vui. Sau đây mình sẽ đưa ra một ví dụ áp dụng kĩ thuật này. Ví dụ này vốn là của functional analysis nhưng chẳng sao, vì thực ra các ngành toán học đều liên thông cả mà!
Ví dụ áp dụng : Hãy chứng minh rằng không gian tất cả các dãy bị chặn l là không khả ly.
Chứng minh (cách này nhờ gợi ý của BÁC Dieudonne) :
Với mỗi số thực trong [0,1] hãy cho ứng với một dãy trong l là biểu diễn thập phân của nó bởi ánh xạ nói trên. Rõ ràng dãy này là bị chặn (vì các phần tử của nó chỉ có thể là 0,1,..,9). Hơn nữa, vì ánh xạ nói trên là đơn ánh nên 2 dãy khác nhau bất kì u,v là 2 biểu diễn khác nhau, do đó theo định nghĩa thì ||u-v|| >=1. Gọi tập tất cả các dãy vừa tạo thành là S, vì S có lực lượng continum (cùng lực lượng với [0,1]) nên suy ra S "không khả ly" (chính xác là không tồn tại dãy con trù mật trong S). Từ đó suy ra không gian các dãy bị chặn cũng không khả ly.
Chứng minh này thật là đơn giản, nhưng nếu không nhờ ánh xạ nói trên để nghĩ ra chứng minh thì ... Hê hê. Bye mọi người.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 12-10-2005 - 13:50
Con không hề hoài nghi tí nào về sự hiện hữu hoài nghi của người nhưng con hoài nghi rất nhiều về sự minh mẫn và công bình của người!
#33
Đã gửi 12-10-2005 - 15:07
dễ dàng dựng song ánh từ [0;1] đến (0;1) đến R
do đó chỉ cần dựng song ánh từ A=[0;1]*[0;1] vào R là bài toán được chứng minh.
gọi I là tập các số vô tỉ trong đoạn [0;1]
chia A và R thành 3 phần và song ánh như sau:
1) (a;b) với a,b là các số hữu tỉ tập này là đếm đựơc nên co song ánh vào tập các số hữu tỉ.
2) (a;b) với 1 số là hữu tỉ 1 số là vô tỉ sẽ cho song ánh vào tập các số vô tỉ của R mà bỏ đi tập I.
trước hết ta đánh số các số hữu tỉ trong đoạn [0;1] (tính đếm được) 1 số vô tỉ trong đoạn [0;1] biểu diễn thập phân là 0,....... = ,..... (bỏ số 0 đi để dễ kí hiệu o dưới)vô hạn kô tuần hoàn.
a là hữu tỉ còn b là vô ti
thì ảnh của (a;b) là (n+1),b vơi n là thứ tự của a
ảnh này là số vô tỉ có phân nguyên là n+1 và phần thập phân là b
ảnh của (b;a) là -n,b
nhận xét (a;b)+(b;a)=1
ảnh xác định duy nhât bởi n là số thứ tự của a là b
nên anh xạ xác định trên các bộ phận này là song ánh
3) phần còn lại của A là(a;b) với a,b vô tỉ tức là tập I*I ta cho song ánh vào phân còn lại của R là I(tập các số vô tỉ trong đoạn [0;1])
để tránh sự biểu diên như trong các hệ cơ số ta dùng sự biêu diễn qua liên phân số.
Ưu điểm của biểu diễn qya liên phân số là số hữu tỉ biểu diễn duy nhất thành liên phân số hữu hạn còn các số vô tỉ biểu diễn duy nhât là liên phân số vô hạn (ta dùng trương hợp này)
a,b I thì a=[0;A1,A2,...,An,...] b=[0;B1,B2,...,Bn,...]
ảnh (a;b) là [0;A1,B1,A2,B2,....,An,Bn,...] cũng là vô tỉ trong [0;1]
sự tương ứng là 1-1 nên là song ánh
Vậy bài toán được chưng minh
#34
Đã gửi 14-10-2005 - 12:56
Cái mà anh nemo làm là đơn ánh, sử dụng thêm cái này (đã nhắc đến từ đầu)hóa ra là bác TSTS muốn chỉnh sửa ax đó để nó thành song ánh
thì việc chứng minh 2 tập tương đương đã thực hiện xong.định lý Cantor Berstein: nếu X,Y là 2 tập hợp, X có cùng lực lượng với 1 tập con của Y, Y có cùng lực lượng với 1 tập con của X thì X có cùng lực lượng với Y
#35
Đã gửi 14-10-2005 - 14:34
Em khen : Anh quá cù lần . Bỏ anh !
#36
Đã gửi 22-11-2005 - 22:34
#37
Đã gửi 26-11-2005 - 21:36
1\ Về chứng minh của bác prime thì dùng liên phân số là khá hay biểu diễn .. nếu em không nhầm thì cách này đúng đặc bịêt là kết hớp hai song ánh sau ta có thể xây dựng song ánh đã cho.
từ http://dientuvietnam...imetex.cgi?(0,1) đến http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=tg(\pi(x-\dfrac{1}{2}))
Từ đoạn [0,1] đến (0,1) thì như bác magic xây dựng
2\ Về bài toán có tồn tại song ánh liên tục không như mọi người nói ,thầyNam Dũng có thể cho ý kiến không vì em cũng không thấy nhắc nhiều đến .
3\ Để thiết lập song ánh đặc biệt trong các bài toán về phép đếm em thấy ấn tuwongj nhất là phương pháp xây dựng chéo như Cantor đã xây dựng để chứng minh R là không đếm được . Gần đây cũng biết thêm kiểu đánh số theo đường xoắn ốc khi chứng minh tồn tại song ánh giữa Z^2 và N ,
Người ta sống để yêu thương và hi vọng chứ không sống để giận dữ hay thất bại.
#38
Đã gửi 13-08-2018 - 21:35
#39
Đã gửi 15-10-2018 - 10:47
Cũng có nhiều lời giải, mà chưa fix lại được. Những lời giải chung chung, úp lên để có đáp án mà nhiều người đang cần.
Du lịch Thái Lan giá rẻ | Du lịch Campuchia Giá Rẻ | Tour Singapore Malaysia Indonesia giá rẻ | Xuân Lộc Long Khánh
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh