Chủ đề này có 2 trả lời

[Linh Trang]

Cho các số thực dương $x, y, z$. Tìm GTLN của biểu thức:
$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+x)}}$

[le_hoang1995]

Sử dụng bđt thức cauchy-schwarz, ta có$\sqrt{(x+y)(z+x)}\geq \sqrt{(\sqrt{xz}+\sqrt{xy})^2}=\sqrt{xz}+\sqrt{xy}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq \sum \frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\sum \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 27-04-2012 - 19:52

[dungmathpro]

$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}= \frac{1}{1+\sqrt{(1+\frac{y}{x})(1+\frac{z}{x})}}\leq \frac{1}{1+1+\frac{\sqrt{yz}}{x}}= \frac{1}{2+\frac{\sqrt{yz}}{x}}$
tuong tu dat$\frac{\sqrt{xy}}{z}=a;\frac{\sqrt{zx}}{y}=b;\frac{\sqrt{yz}}{x}=c\Rightarrow xyz=1$
BDT$\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+a}\leq 1\Leftrightarrow 1-\frac{2}{2+a}+1-\frac{2}{2+b}+1-\frac{2}{2+c}\Leftrightarrow \frac{a}{2+a}+\frac{b}{2+b}+\frac{c}{2+c}\geq 1$
lai dat x=u/v;y=v/t;z=t/u ta phai chung minh
$\frac{u/v}{2+u/v}+\frac{v/t}{2+v/t}+\frac{t/u}{2+t/u}\Leftrightarrow \frac{u}{u+2v}+\frac{v}{v+2t}+\frac{t}{t+2u}\geq 1$
theo bdt Cauchy schawez ta co
$\frac{u}{u+2v}+\frac{v}{v+2t}+\frac{t}{t+2u}\geq \frac{(u+v+t)^2}{u(u+2v)+v(v+2t)+t(t+2u)}=1\Rightarrow dpcm$
cach minh tuy dai nhung kha hay!