Chủ đề này có 3 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán 1.
Cho $a,b,c \in (0;1]$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a+b+c}\ge \dfrac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
Bài toán 2.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left (a^3+b^3+c^3\right )\left (\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right ) \ge \dfrac{3}{2}\left (\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\right )$$
Bài toán 3.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$\left (a^2+b^2\right )\left (b^2+c^2\right )\left (b^2+c^2\right ) \ge 8\left (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right )^2$$

[phantomladyvskaitokid]

Bài toán 2.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left (a^3+b^3+c^3\right )\left (\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right ) \ge \dfrac{3}{2}\left (\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\right )$$

$a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{2}\left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\right ]$

$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{abc}$

$\Rightarrow$ đpcm

[WhjteShadow]

Bài 1:Đặt $1-a=x,1-b=y,1-c=z (0<x,y,z<1)$
Bài toán trở thành $\frac{1}{3-x-y-z}\geq \frac{1}{3}+xyz$
$\Leftrightarrow 3\geq 3-x-y-z+3(3-x-y-z)xyz$
$\Leftrightarrow x+y+z\geq 3xyz(3-x-y-z)$
$\Leftrightarrow x+y+z+3xyz(x+y+z)\geq 9xyz$
$\Leftrightarrow (3xyz+1)(x+y+z)\geq 9xyz$
(Đúng do $(3xyz+1)(x+y+z)\geq (2xyz+1)(x+y+z)\geq 3.3.\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.\sqrt[3]{xyz}=9xyz$)
Vậy bđt đầu đúng~> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 27-04-2012 - 22:12

[Secrets In Inequalities VP]

Bài 3; here http://diendantoanho...showtopic=70046