Chủ đề này có 4 trả lời

[xuanhung]

1/ CMR: $$\frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$$ với a,b > 0, Khi nào thì dấu bằng xảy ra?

2/Tìm giá trị lớn nhất của $$\frac{2m+1}{m^{2}+1}$$, với m là số bất kì

[Mai Duc Khai]

1/ CMR: $$\frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$$ với a,b > 0, Khi nào thì dấu bằng xảy ra?

2/Tìm giá trị lớn nhất của $$\frac{2m+1}{m^{2}+1}$$, với m là số bất kì

Bài 1 xem tại đây :http://diendantoanho...ic=66878&st=660
bài 2: hôm qua mình trả lời rồi! đợi ng khác post cách khác nha

[dungmathpro]

Bai 1:
$\frac{(a+b)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+4ab+a+b\geq 4a\sqrt{b}+4b\sqrt{a}$
ta co$2a^2+2b^2+4ab+a+b\geq 4ab+a+4ab+b\geq 4a\sqrt{b}+4b\sqrt{a}\Rightarrow dpcm$

[dungmathpro]

Bai 2
dat: $\frac{2m+1}{m^2+1}=y\Leftrightarrow ym^2-2m+y-1=0$
xet y=0$\fra\Rightarrow m=\frac{-1}{2}$
xet y#0 ta co:
pt $ym^2-2m+y-1$ co$\Delta =-4y^2+4y+4\Rightarrow \frac{1-\sqrt{5}}{2}\leq y\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
vay GTLN cua bieu thuc la:
$Max=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

[dungmathpro]

Bạn có cách thủ công không nhỉ, phương pháp tính theo bảng xét dấu này mình có làm qua rùi, Tks bạn nha

uhm cach khac
de y $\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{2m+1}{m^2+1}= \frac{(1+\sqrt{5})m^2-4m+\sqrt{5}-1}{2(m^2+1)}\Rightarrow (\sqrt{5}-1)\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{2m+1}{m^2+1}=(\sqrt{5}-1)\frac{(1+\sqrt{5})m^2-4m+\sqrt{5}-1}{2(m^2+1)}=\frac{4m^2-4(\sqrt{5}-1)m+(\sqrt{5}-1)^2}{2(m^2+1)}= \frac{(2m-(\sqrt{5}-1))^2}{2(m^2+1)}\geq 0\Rightarrow max=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$