Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Balkan MO 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 29-04-2012 - 10:50

Balkan MO 2012 - 28 April 2012


Bài 1. Let $A$, $B$ and $C$ be points lying on a circle $ \Gamma $ with centre $O$. Assume that $ \angle ABC > 90 $. Let $D$ be the point of intersection of the line $AB$ with the line perpendicular to $AC$ at $C$. Let $l$ be the line through $D$ which is perpendicular to $AO$. Let $E$ be the point of intersection of $l$ with the line $AC$, and let $F$ be the point of intersection of $ \Gamma $ with $l$ that lies between $D$ and $E$. Prove that the circumcircles of triangles $ BFE $ and $CFD$ are tangent at $F$.


Bài 2. Prove that \[ \sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx), \] for all positive real numbers $x,y$ and $z$.


Bài 3. Let $n$ be a positive integer. Let $ P_{n}=\{2^{n},2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^{2},\dots, 3^{n}\}. $ For each subset $X$ of $ P_{n} $, we write $ S_{X} $ for the sum of all elements of $X$, with the convention that $ S_{\emptyset}=0 $ where $ \emptyset $ is the empty set. Suppose that $y$ is a real number with $ 0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}. $

Prove that there is a subset $Y$ of $ P_{n} $ such that $ 0\leq y-S_{Y}< 2^{n} $.

Bài 4. Let $ \mathbb{Z}^{+} $ be the set of positive integers. Find all functions $ f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z}^{+} $ such that the following conditions both hold:
(i) $ f(n!)=f(n)! $ for every positive integer $n$,
(ii) $m-n$ divides $ f(m)-f(n) $ whenever $m$ and $n$ are different positive integers.




Bài 1. Cho $A$, $B$ và $C$ là các điểm trên đường tròn $ \Gamma $ tâm $O$. Giả sử $ \angle ABC > 90 $. Gọi $D$ là giao điểm của $AB$ và đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $C$. Gọi $l$ là đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $AO$. Gọi $E$ là giao điểm của $l$ với $AC$, và $F$ là giao điểm của $ \Gamma $ với $l$ nằm giữa $D$ và $E$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ BFE $ và $CFD$ tiếp xúc với nhau tại $F$.


Bài 2. Chứng minh rằng \[ \sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx), \] với mọi số thực dương $x,y$ và $z$.


Bài 3. Cho $n$ là một số nguyên dương. Đặt $ P_{n}=\{2^{n},2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^{2},\dots, 3^{n}\}. $ Với bất kì tập hợp con $X$ của $ P_{n} $, ta kí hiệu $ S_{X}$ là tổng tất cả các phần tử của $X$, với quy ước rằngt $S_{\emptyset}=0$. Giả sử $y$ là một số thực sao cho$ 0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}. $

Chứng minh rằng tồn tại tập hợp con $Y$ của $ P_{n}$ sao cho $ 0\leq y-S_{Y}< 2^{n} $.

Bài 4. Cho$ \mathbb{Z}^{+} $ là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z}^{+} $ thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện sau:
(i) $ f(n!)=f(n)! $ với mọi số nguyên dương $n$,
(ii) $m-n$ chia hết $ f(m)-f(n)$, ở đó $m$ và $n$ là hai số nguyên dương khác nhau.



#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 29-04-2012 - 12:38

Balkan MO 2012 - 28 April 2012


Bài 2. Prove that \[ \sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx), \] for all positive real numbers $x,y$ and $z$.

Áp dụng BDT AM-GM ta có :
$$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\left (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right )\ge 3\sqrt[6]{\left [(x+y)(y+z)(z+x)\right ]^4}$$
Áp dụng BDT
$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
$$\left (\Leftrightarrow 9((ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc)\ge 8(3abc+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\ge 6abc \right )$$
Đúng theo AM-GM
Áp dụng tiếp BDT
$$a+b+c \ge \sqrt{3(ab+bc+ca)}$$
Ta có :

$$VT \ge 3\sqrt[6]{\left (\dfrac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)\right )^4}\ge 3\sqrt[6]{\dfrac{8^4}{9^4}.\sqrt{3^4(xy+yz+zx)^4}.(xy+yz+zx)^4}=4(xy+yz+zx)$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 Stranger411

Stranger411

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Somewhere ...

Đã gửi 29-04-2012 - 14:46

Balkan MO 2012 - 28 April 2012

Bài 2. Prove that \[ \sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx), \] for all positive real numbers $x,y$ and $z$.

Tuy là đề thi quốc gia nhưng mình thấy bài này khá lỏng :D
Cách 1:
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz, ta có:


$\left( x+y \right)\sqrt{\left( z+x \right)\left( z+y \right)}\ge \left( x+y \right)\left( z+\sqrt{xy} \right)$

$=\left( x+y \right)z+\left( x+y \right)\sqrt{xy}\ge \left( x+y \right)z+2xy$
Cách 2: Bằng cách dùng bổ đề của huymit_95, ta viết lại bđt như sau:
$\sum {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }}} \ge \frac{{4\left( {xy + yz + zx} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}$
Ta có: $\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge \frac{8}{9}\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {x + y + z} \right)$
Nên ta cần chứng minh: $\sum {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }}} \ge \frac{9}{{2\left( {x + y + z} \right)}}$
Và bđt này hoàn toàn đúng với bđt Cauchy-Schwarz:
$\sum {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }}} \ge \sum {\frac{2}{{x + y + 2z}}} \ge \frac{9}{{2\left( {x + y + z} \right)}}$

$P_{G}(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n})=\frac{1}{|G|}\sum_{\tau\in G}ind(\tau)$


#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4156 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 29-04-2012 - 15:44

Bài 1:
Hình đã gửi
Vẽ DC cắt AO tại G. Do $\angle ACG=90^o \Rightarrow$ AG là đường kính của (O) $\Rightarrow$ A,O,G thẳng hàng.
$\Rightarrow \angle ABG=90^o \Rightarrow GB \perp AD$.
Dễ thấy E là trực tâm của $\vartriangle ADG$ nên BG qua E.
Gọi J,I thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle BFE,\vartriangle DFC$
\[
\begin{array}{l}
\angle JFE = \frac{{180^o - \angle FJE}}{2} = 90^o - \angle FBE = 90^o - \angle FAG = \angle FGA \\
\angle DFI = \frac{{180^o - \angle FID}}{2} = 90^o - \angle FCD = \angle FCA = \angle FGA \\
\Rightarrow \angle JFE = \angle DFI \Rightarrow \overline {J,F,I} \\
\end{array}
\]
Do đó, suy ra đpcm.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#5 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 21-05-2012 - 16:35

Bài 2. Prove that \[ \sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx), \] for all positive real numbers $x,y$ and $z$.


Nếu $a=\sqrt{x+y};b=\sqrt{y+z};c=\sqrt{z+x}$ với $a,b,c$ là 3 cạnh 1 tam giác bà $S=\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4}{16}=\frac{xy+xz+yz}{4}$
BĐT Cần chứng minh được viết lại thành
$$abc(a+b+c)\geq 16S\Leftrightarrow \frac{abc}{4S}\geq \frac{4S}{p}\Leftrightarrow R\geq r$$
Đây là 1 kết quả nổi tiếng của Euler


Balkan MO 2012 - 28 April 2012


Bài 4. Let $ \mathbb{Z}^{+} $ be the set of positive integers. Find all functions $ f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z}^{+} $ such that the following conditions both hold:
(i) $ f(n!)=f(n)! $ for every positive integer $n$,
(ii) $m-n$ divides $ f(m)-f(n) $ whenever $m$ and $n$ are different positive integers.

TH1: $f(1)=f(2)=1$. Ta có $n!-1|f(n!)-1$ và $n!-2|f(n!)-1$ vậy $f(n!)$ lẻ với mọi n và vì vậy $f(n)=1\forall n\in Z^+$



Mình tìm được lời giải cho bài này do trình tiếng Anh có hạn nên mình dán lời giải ra
Hình đã gửi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-05-2012 - 16:43

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-06-2012 - 10:53

Đáp án chính thức của đề này :)
File gửi kèm  bmo2012solutions.pdf   978.16K   141 Số lần tải

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#7 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 16-02-2020 - 12:23

hay thế






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh