Balkan MO 2012 - 28 April 2012
Bài 1. Let $A$, $B$ and $C$ be points lying on a circle $ \Gamma $ with centre $O$. Assume that $ \angle ABC > 90 $. Let $D$ be the point of intersection of the line $AB$ with the line perpendicular to $AC$ at $C$. Let $l$ be the line through $D$ which is perpendicular to $AO$. Let $E$ be the point of intersection of $l$ with the line $AC$, and let $F$ be the point of intersection of $ \Gamma $ with $l$ that lies between $D$ and $E$. Prove that the circumcircles of triangles $ BFE $ and $CFD$ are tangent at $F$.
Bài 2. Prove that \[ \sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx), \] for all positive real numbers $x,y$ and $z$.
Bài 3. Let $n$ be a positive integer. Let $ P_{n}=\{2^{n},2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^{2},\dots, 3^{n}\}. $ For each subset $X$ of $ P_{n} $, we write $ S_{X} $ for the sum of all elements of $X$, with the convention that $ S_{\emptyset}=0 $ where $ \emptyset $ is the empty set. Suppose that $y$ is a real number with $ 0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}. $
Prove that there is a subset $Y$ of $ P_{n} $ such that $ 0\leq y-S_{Y}< 2^{n} $.Bài 4. Let $ \mathbb{Z}^{+} $ be the set of positive integers. Find all functions $ f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z}^{+} $ such that the following conditions both hold:
(i) $ f(n!)=f(n)! $ for every positive integer $n$,
(ii) $m-n$ divides $ f(m)-f(n) $ whenever $m$ and $n$ are different positive integers.
Bài 1. Cho $A$, $B$ và $C$ là các điểm trên đường tròn $ \Gamma $ tâm $O$. Giả sử $ \angle ABC > 90 $. Gọi $D$ là giao điểm của $AB$ và đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $C$. Gọi $l$ là đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $AO$. Gọi $E$ là giao điểm của $l$ với $AC$, và $F$ là giao điểm của $ \Gamma $ với $l$ nằm giữa $D$ và $E$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ BFE $ và $CFD$ tiếp xúc với nhau tại $F$.
Bài 2. Chứng minh rằng \[ \sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx), \] với mọi số thực dương $x,y$ và $z$.
Bài 3. Cho $n$ là một số nguyên dương. Đặt $ P_{n}=\{2^{n},2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^{2},\dots, 3^{n}\}. $ Với bất kì tập hợp con $X$ của $ P_{n} $, ta kí hiệu $ S_{X}$ là tổng tất cả các phần tử của $X$, với quy ước rằngt $S_{\emptyset}=0$. Giả sử $y$ là một số thực sao cho$ 0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}. $
Chứng minh rằng tồn tại tập hợp con $Y$ của $ P_{n}$ sao cho $ 0\leq y-S_{Y}< 2^{n} $.
Bài 4. Cho$ \mathbb{Z}^{+} $ là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z}^{+} $ thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện sau:
(i) $ f(n!)=f(n)! $ với mọi số nguyên dương $n$,
(ii) $m-n$ chia hết $ f(m)-f(n)$, ở đó $m$ và $n$ là hai số nguyên dương khác nhau.