1. CMR nếu $\Delta ABC$ có sin2A + sin2B=4sinAsinB thì $\Delta ABC$ vuông
2. CMR nếu $\Delta ABC$ có$\frac{sin A + sin B}{cosA + cosB}= \frac{1}{2}(tanA + tan B)$ thì $\Delta ABC$ cân
CMR nếu $\Delta ABC$ có sin2A + sin2B=4sinAsinB thì $\Delta ABC$ vuông
Bắt đầu bởi whiterose96, 29-04-2012 - 12:27
#2
Đã gửi 29-04-2012 - 15:07
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
2. CMR nếu $\Delta ABC$ có
$$\frac{sin A + sin B}{cosA + cosB}= \frac{1}{2}(tanA + tan B)$$
thì $\Delta ABC$ cân
$\frac{sin A + sin B}{cosA + cosB}= \frac{1}{2}(tanA + tan B)$
$\Leftrightarrow \dfrac{2\sin{(\dfrac{A + B}{2})}.\cos{(\dfrac{A - B}{2})}}{2\cos{(\dfrac{A + B}{2})}.\cos{(\dfrac{A - B}{2})}} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}} + \dfrac{\sin{B}}{\cos{B}})$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin{(\dfrac{A + B}{2}})}{\cos{(\dfrac{A + B}{2})}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{\sin{A}.\cos{B} + \sin{B}\cos{A}}{\cos{A}.\cos{B}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin{(\dfrac{A + B}{2})}}{\cos{(\dfrac{A + B}{2})}} = \dfrac{\sin{(A + B)}}{2\cos{A}.\cos{B}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin{(\dfrac{A + B}{2})}}{\cos{(\dfrac{A + B}{2})}} = \dfrac{\sin{(\dfrac{A + B}{2})}.\cos{(\dfrac{A + B}{2})}}{\cos{A}.\cos{B}}$
$\Leftrightarrow [\cos{(\dfrac{A + B}{2})}]^2 = \cos{A}.\cos{B} \,\,\,\,\, (\sin{(\dfrac{A + B}{2})} \neq 0) $
$\Leftrightarrow \dfrac{\cos{(A + B)} + 1}{2} = \dfrac{1}{2}(\cos{(A + B)} + \cos{(A - B)}) $
$\Leftrightarrow \cos{(A - B)} = 1 \Rightarrow A - B = 2k\pi$
Mặt khác $0 < A; B < \pi $, do đó:
$A - B = 0 \Rightarrow A = B \Rightarrow$ Tam giác ABC cân tại C.
$$\frac{sin A + sin B}{cosA + cosB}= \frac{1}{2}(tanA + tan B)$$
thì $\Delta ABC$ cân
Giải
Ta có:$\frac{sin A + sin B}{cosA + cosB}= \frac{1}{2}(tanA + tan B)$
$\Leftrightarrow \dfrac{2\sin{(\dfrac{A + B}{2})}.\cos{(\dfrac{A - B}{2})}}{2\cos{(\dfrac{A + B}{2})}.\cos{(\dfrac{A - B}{2})}} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}} + \dfrac{\sin{B}}{\cos{B}})$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin{(\dfrac{A + B}{2}})}{\cos{(\dfrac{A + B}{2})}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{\sin{A}.\cos{B} + \sin{B}\cos{A}}{\cos{A}.\cos{B}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin{(\dfrac{A + B}{2})}}{\cos{(\dfrac{A + B}{2})}} = \dfrac{\sin{(A + B)}}{2\cos{A}.\cos{B}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin{(\dfrac{A + B}{2})}}{\cos{(\dfrac{A + B}{2})}} = \dfrac{\sin{(\dfrac{A + B}{2})}.\cos{(\dfrac{A + B}{2})}}{\cos{A}.\cos{B}}$
$\Leftrightarrow [\cos{(\dfrac{A + B}{2})}]^2 = \cos{A}.\cos{B} \,\,\,\,\, (\sin{(\dfrac{A + B}{2})} \neq 0) $
$\Leftrightarrow \dfrac{\cos{(A + B)} + 1}{2} = \dfrac{1}{2}(\cos{(A + B)} + \cos{(A - B)}) $
$\Leftrightarrow \cos{(A - B)} = 1 \Rightarrow A - B = 2k\pi$
Mặt khác $0 < A; B < \pi $, do đó:
$A - B = 0 \Rightarrow A = B \Rightarrow$ Tam giác ABC cân tại C.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 29-04-2012 - 15:09
- perfectstrong và donghaidhtt thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
#3
Đã gửi 29-04-2012 - 16:28
minhdat881439
-
- Thành viên
-
- 473 Bài viết
Sĩ quan
sin2A+sin2B=4sinAsinB
$\Rightarrow$2sin(A+B)cos(A-B)=2[cos(A-B)-cos(A+B)]
$\Leftrightarrow$sinCcos(A-B)=cos(A-B)+cosC
$\Leftrightarrow$cos(A-B) [1-sinC]+cosC=0
$\Leftrightarrow$cos(A-B)cosC[1-sinc]+cos$^{2}$C=0
$\Leftrightarrow$(1-sinC)[cos(A-B)cosC+1+sinC]=0
$\Leftrightarrow$1-sinC=0 (do sinC>0, cos(A-B)cosC$\geq$-1$\Rightarrow$[cos(A-B)cosC+1+sinC>0])
$\Rightarrow$C=90
hay $\Delta$ABC vuông tại C
$\Rightarrow$2sin(A+B)cos(A-B)=2[cos(A-B)-cos(A+B)]
$\Leftrightarrow$sinCcos(A-B)=cos(A-B)+cosC
$\Leftrightarrow$cos(A-B) [1-sinC]+cosC=0
$\Leftrightarrow$cos(A-B)cosC[1-sinc]+cos$^{2}$C=0
$\Leftrightarrow$(1-sinC)[cos(A-B)cosC+1+sinC]=0
$\Leftrightarrow$1-sinC=0 (do sinC>0, cos(A-B)cosC$\geq$-1$\Rightarrow$[cos(A-B)cosC+1+sinC>0])
$\Rightarrow$C=90
hay $\Delta$ABC vuông tại C
- perfectstrong và donghaidhtt thích
Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng
Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
