Chủ đề này có 1 trả lời

[luuthong123]

Cho hàm số: $y=\frac{mx^2+(m^2+1)x+4m^3+m}{x+m}$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm $m$ để một điểm cực trị của $(C_m)$ thuộc góc phần tư thứ $I$, một điểm cực trị của $(C_m)$ thuộc góc phần tư thứ $III$ của hệ toạ độ $Oxy$

[longqnh]

Cho hàm số: $y=\frac{mx^2+(m^2+1)x+4m^3+m}{x+m}$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm $m$ để một điểm cực trị của $(C_m)$ thuộc góc phần tư thứ $I$, một điểm cực trị của $(C_m)$ thuộc góc phần tư thứ $III$ của hệ toạ độ $Oxy$

\[y' = \frac{{m{x^2} + 2{m^2}x - 3{m^3}}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\]
Xét phương trình $y'=0$ (đk: $x\neq -m$)
\[ <=> m{x^2} + 2{m^2}x - 3{m^3} = 0\]
Do YCBT đòi hỏi có 2 cực trị nên $m\neq0$
Để hàm số có 2 cực trị thì $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Delta '>0<=>4m^4>0(true)$
Giả sử A, B là 2 cực trị:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = m => {y_A} = 3{m^2} + 1 \\
{x_B} = - 3m => {y_B} = 2{m^2} - 1 \\
\end{array} \right.\]
Vì \[{y_A} > 0\forall m\] nên $A$ không thể thuộc góc phần tư thứ $III$
Vậy: $A$ thuộc góc phần tư thứ $I$, $B$ thuộc góc phần tư thứ $III$
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} > 0 \\
{y_A} > 0(true) \\
{x_B} < 0 \\
y{}_B < 0 \\
\end{array} \right. \\
<=> \left\{ \begin{array}{l}
m > 0 \\
- \frac{1}{{\sqrt 2 }} < m < \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longqnh: 28-07-2012 - 22:27