Chủ đề này có 1 trả lời

[song vi toan]

Xác định các số nguyên tố p,q sao cho $p^{2}-q+2q^{2}$ và $2p^{2}+pq+q^{2}$ nguyên tố cùng nhau

[perfectstrong]

Lời giải:
Nhận xét: nếu $p,q$ đều lớn hơn 2 thì $p,q$ lẻ
$\Rightarrow p^2-q+2q^2;2p^2+pq+q^2$ đều chẵn: trái gt
Nếu $p=q=2 \Rightarrow p^2-q+2q^2;2p^2+pq+q^2$ đều chẵn: trái gt. Do đó, trong $p,q$ có đúng 1 số bằng 2.
TH1: $p=2;q>2$
\[
\left\{ \begin{array}{l}
p^2 - q + 2q^2 = 4 - q + 2q^2 \\
2p^2 + pq + q^2 = 8 + 2q + q^2 \\
\end{array} \right.
\]
Đặt $d=(2q^2-q+4;q^2+2q+8)$. Dễ thấy $2 \not | d$.
\[
\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d|2q^2 - q + 4 \\
d|q^2 + 2q + 8 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d|2\left( {q^2 + 2q + 8} \right) - \left( {2q^2 - q + 4} \right) \\
d|q^2 + 2q + 8 + 2\left( {2q^2 - q + 4} \right) \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d|5q + 12 \\
d|5q^2 + 16 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d|5q^2 + 12q \\
d|5q^2 + 16 \\
\end{array} \right. \Rightarrow d|12q - 16 \Rightarrow d|60q - 80 \\
d|5q + 12 \Rightarrow d|60q + 144 \Rightarrow d|60q + 144 - \left( {60q - 80} \right) \Rightarrow d|224 \\
\Rightarrow d \in \left\{ {1;7} \right\} \\
\end{array}
\]
Nếu $d=7 \Leftrightarrow q$ sẽ có dạng $7k-1$. Do đó, nếu $p=2$ thì để thỏa đề, $q \not \equiv -1 \pmod 7$
TH2: $q=2;p>2$
\[
\left\{ \begin{array}{l}
p^2 - q + 2q^2 = p^2 + 6 \\
2p^2 + pq + q^2 = 2p^2 + 2p + 4 \\
\end{array} \right.
\]
Đặt $d=(p^2+6;2p^2+2p+4)$. Dễ thấy $2 \not | d$
\[
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
d|p^2 + 6 \\
d|2p^2 + 2p + 4 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d|p^2 + 6 \\
d|p^2 + p + 2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d|p - 4|p^2 - 4p \\
d|p^2 + 6 \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d|p - 4|4p - 32 \\
d|p^2 + 6 - \left( {p^2 - 4p} \right) = 4p + 6 \\
\end{array} \right. \Rightarrow d|4p + 6 - \left( {4p - 32} \right) = 38 \Rightarrow d \in \left\{ {1;19} \right\} \\
\end{array}
\]
Nếu $d=19 \Rightarrow p=19k+4$ (do $19|p-4$)
Suy ra $p^2 + 6 = 19^2 k^2 + 8.19k + 22\not \vdots 19$: vô lý
nên $d=1 \Rightarrow \left( {p^2 + 6;2p^2 + 2p + 4} \right) = 1,\forall p$
Kết luận: Bài toán có nghiệm
- $p=2$ và $q$ nguyên tố nhưng chia 7 không dư 6; $q>2$
- $q=2$ và $p$ nguyên tố khác 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-04-2012 - 11:16