Cho $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}; \omega{(f,x)} =\inf\{\text{diam}f(I)\}$
#1
Đã gửi 30-04-2012 - 08:14
Cho $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Ta gọi dao động của $f$ tại $x$ là $ \omega{(f,x)} =\inf\{\text{diam}f(I) $ sao cho $I$ là khoảng mở chứa $x$ $\}$. CMR:
a) $f$ liên tục tại $x \Leftrightarrow \omega{(f,x)} =0.$
b) $\forall a>0, A=\{x \in \mathbb{R}: \omega{(f,x)} \geq a \}$ là một tập đóng.
#2
Đã gửi 21-04-2013 - 10:55
a/ Kí hiệu $N_{\delta}\left ( x \right )=\left ( x-\delta,x+\delta \right )$
Giả sử $f$ liên tục tại $x$
Ta có:
$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, \forall y\in N_{delta}(x): \left | x-y \right |<\delta \Rightarrow\left | f(x)-f(y) \right |<\varepsilon$
Từ đây suy ra được:
$f(y)<f(x)+\varepsilon$,
$f(y)>f(x)-\varepsilon$.
Theo định nghĩa $sup$ và $inf$, ta được:
$\sup f(y)\leq f(x)+\varepsilon$,
$\inf f(y)\geq f(x)-\varepsilon$.
Kết hợp lại, ta được:
$\omega (f,x)\leq \sup \left \{ f(y):y\in N_{\delta}(x) \right \}-\inf \left \{ f(y):y\in N_{\delta}(x) \right \}=\omega(f,N_{\delta}(x))\leq 2\varepsilon$
Do $\varepsilon >0$ tùy ý, nên ta có:
$\omega (f,x)=0$ (đpcm)
Chứng minh chiều ngược lại không khó.
b/ Gọi $B$ là các tập điểm mà tại đó $f$ không liên tục:
Ta có $B$ là một tập $F_{\sigma}$
khi đó tồn tại dãy tập hợp đóng $A_{a}$ sao cho $B=\bigcup_{a}A_{a}$
(Có thể chứng minh các tập $A_{a}$ bằng cách chứng minh các tập $A_{a}^{c}$ là mở trong $\mathbb{R}$)
Đặt $A_{a}=\left \{ x \in \mathbb{R}:\omega (f,x)\geq a \right \}$
Cho đpcm.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh