Chủ đề này có 1 trả lời

[hxthanh]

Ta định nghĩa các hàm số nguyên như sau:

$ \bullet \;\;\alpha(x)= - \left\lfloor 1-x \right\rfloor $
$ \bullet \;\;\delta_n(x) $ là số các ước (dương) của $ x $ không vượt quá $ n $
$ \bullet \;\;\gamma_n(x) $ là số các ước (dương) của $ x $ lớn hơn $ n $

Chứng minh rằng: $\delta_{\alpha\left(\frac{m}{n}\right)}(m)=\gamma_{n}(m)$

________________________________________________________________

Bài hay thế này mà Karl Heinrich Marx và supermember hoặc PSW không vào chém thì hơi phí! =))

[The Gunner]

Ta có $\alpha\left(\frac{m}{n}\right)=-\left\lfloor 1-\frac{m}{n}\right\rfloor$
Nếu $m \leq n$ thì hai vế của đẳng thức cần chứng minh đêu bằng 0, nên ta có đpcm
do đó xét $m >n$ . Gọi $k$ là ước số lớn nhất của $m$ ko vượt quá ${\alpha\left(\frac{m}{n}\right)}$, thì ta có $k \leq \alpha\left(\frac{m}{n}\right)=-\left\lfloor 1-\frac{m}{n} \right\rfloor$ nên $k(n+1) \leq m$ (*) do đó ước liên hợp của $k$ đối với $m$ là $k'$. ta có $k.k'=m$ thì $k'>n$. Do đó tồn tại một toàn ánh từ $\delta_{\alpha\left(\frac{m}{n}\right)}(m)$ vào $\gamma_{n}(m)$
nếu $1-\frac{m}{n} \in \mathbb{Z}$ thì đẳng thức ở (*) xảy ra, lúc này có một song ánh
còn nếu ko nguyên thì ta xét khoảng $[n+1,k']$ thì nếu trong khoảng này có một ước $d$ của $m$ thì giả sử $k$ là ước lớn nhất ko vượt quá $\alpha\left(\frac{m}{n}\right)$ thì một ước liên hợp của $d$ đối với $m$ là $d'$ phải lớn hơn $\alpha\left(\frac{m}{n}\right)$ và như vậy ta có $m=d.d'>(n+1)\frac{m-n}{n}$ suy ra:$m>n(n+1)$ lúc này $\alpha\left(\frac{m}{n}\right) \geq n$ nên khoảng $\left(\alpha\left(\frac{m}{n}\right);n+1\right)$ ko có số nguyên nào. Vậy ta có thêm một đơn ánh. Nên suy ra tồn tại một song ánh
nên suy ra $\delta_{\alpha\left(\frac{m}{n}\right)}(m)=\gamma_{n}(m)$