Bài toán: Giải phương trình: \[\frac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + \frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} = \frac{{10}}{3}\]
Giải
ĐK: $x \geq 0$
Phương trình ban đầu tương đương:
$(\dfrac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + 1) + (\frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} + 1) = \dfrac{25}{3}$
$\Leftrightarrow (x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6).[\dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + x + 3} + \dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x^2 + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3}] = \dfrac{25}{3} \,\,\, (2)$
Do $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có:
$\dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + x + 3} + \dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x^2 + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3} \geq \dfrac{25}{3x^2 + 3x\sqrt{x} + 3x + 3\sqrt{x} + 18} = \dfrac{25}{3(x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)}$
Do đó:
$VT_{(2)} \geq (x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)\dfrac{25}{3(x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)} = \dfrac{25}{3} = VF_{(2)} $
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$x^2 + x\sqrt{x} + x + 3 = x^2 + x\sqrt{x} + 4 = x^2 + \sqrt{x} + 4 = x + \sqrt{x} + 4 = x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3$
$\Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất: x = 1