Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ thỏa mãn:
$ f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y) ,\forall x,y\in \mathbb{R} $
$ f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y) ,\forall x,y\in \mathbb{R} $
Bắt đầu bởi navibol, 02-05-2012 - 20:30
#1
Đã gửi 02-05-2012 - 20:30
navibol
-
- Thành viên
-
- 20 Bài viết
Binh nhất
584.1314.520
Only you, only you and forever.
#2
Đã gửi 02-05-2012 - 20:51
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5003 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải:
\[
f\left( {x + y} \right) + f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {xy} \right) + \left( {y + 1} \right)f\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( y \right),\forall x,y \in R\left( 1 \right)
\]
Trong (1), thay $x=y=0$, ta thu được
\[
f\left( 0 \right) + \left[ {f\left( 0 \right)} \right]^2 = f\left( 0 \right) + 2f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \left[ {f\left( 0 \right)} \right]^2 = 2f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 0 \\
f\left( 0 \right) = 2 \\
\end{array} \right.
\]
Nếu $f(0)=2$, trong (1), thay $y=0$, ta có:
\[
f\left( x \right) + 2f\left( x \right) = 2 + f\left( x \right) + 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = x + 2
\]
Thử lại, hàm này không thỏa mãn $\forall x,y \in \mathbb{R}$
Nếu $f(0)=0$
\[
f\left( {x + y} \right) + f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {xy} \right) + \left( {y + 1} \right)f\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( y \right),\forall x,y \in R\left( 1 \right)
\]
Trong (1), thay $x=y=0$, ta thu được
\[
f\left( 0 \right) + \left[ {f\left( 0 \right)} \right]^2 = f\left( 0 \right) + 2f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \left[ {f\left( 0 \right)} \right]^2 = 2f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 0 \\
f\left( 0 \right) = 2 \\
\end{array} \right.
\]
Nếu $f(0)=2$, trong (1), thay $y=0$, ta có:
\[
f\left( x \right) + 2f\left( x \right) = 2 + f\left( x \right) + 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = x + 2
\]
Thử lại, hàm này không thỏa mãn $\forall x,y \in \mathbb{R}$
Nếu $f(0)=0$
- Zaraki yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 02-05-2012 - 21:38
navibol
-
- Thành viên
-
- 20 Bài viết
Binh nhất
Bạn làm tiếp được không bạn bài này có 3 hàm f thỏa mãn $f(x)=0$, $f(x)=3x$ và $f(x)=x^2+x$
584.1314.520
Only you, only you and forever.
#4
Đã gửi 17-07-2012 - 14:20
NguyThang khtn
-
- Hiệp sỹ
-
- 1468 Bài viết
Thượng úy
- tieulyly1995 và navibol thích
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
