Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng hai số $2005^n$ và $\left (2005^n+5^n\right )$ có cùng số chữ số với mọi $n \in Z^+$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài toán :
Chứng minh rằng hai số $2005^n$ và $\left (2005^n+5^n\right )$ có cùng số chữ số với mọi $n \in Z^+$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 04-05-2012 - 23:25

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2
famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Gọi k $\epsilon$ Z+ thỏa mãn $10^k<2005^n<10^{k+1}$. Vì k=1 đúng nên ta xét k $\geqslant$ 2
Ta sẽ chứng minh $2005^n$+$5^n$ < $10^{k+1}$
Thật vậy, giả sử $2005^n$+$5^n$ $\geqslant$ $10^{k+1}$
ta thấy rằng dấu bằng không xảy ra vì $2005^n$ và $5^n \equiv$ 1(mod 4) mà $10^{k+1}$ chia hết 4
(với mọi k $\geqslant$ 2, k $\epsilon$ Z+)
vậy $2005^n$+$5^n$ > $10^{k+1}$ > $2005^n$ $\Rightarrow$ k+1>n. Đặt k+1=m+n (m $\epsilon$ Z+)
chia 2 vế cho $5^n$ được $401^n$+1> $2^{(m+n)}$ * $5^m$ > $401^n$
(điều này vô lý vì không tồn tại số nguyên giữa 2 số nguyên liên tiếp)
Vậy điều giả sử là sai. Ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 11-07-2012 - 17:43





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh