Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyen Quang Huy]

Mình có bài toán như sau các ban giúp mình với:
cho hàm số f(x) liên tục trên R tìm hàm số f(x) sao cho :f(x+y)=f(x)+f(y)
Tương tự như thế với f(x+y)= f(x)*f(y)

Cảm ơn!

[namdx]

f(x+y) = f(x) + f(y) là phương trình hàm cauchy có nghiệm là:

f(x) = C*x

f(x+y)=f(x)*f(y). Giả sử có 1 số x nào đó làm cho f(x) = 0 thì suy ra f(x)=0 với mọi x. Ta sẽ giải trường hợp mọi x đều làm cho f(x) khác không.

Ta có f(x) = f(x/2 +x/2)=f(x/2) bình phương suy ra f(x) dương với mọi x.
Lấy log e 2 vế ta có:

lnf(x+y)=lnf(x) + lnf(y)

đặt g(x)=lnf(x) ta có g(x+y)=g(x)+g(y). Theo phương trình cauchy

g(x) = C*x => f(x) = e^(cx).

[Nguyen Quang Huy]

Cảm ơn bạn nhưng mình chưa từng đọc về phương trình hàm cosi. Bằng đồ thị mình có thể tìm thấy đáp án của câu trên la f(x+y)=f(x)+f(y) nhưng mình không biết cách chứng minh
Bạn làm ơn chỉ cho mình với .Cảm ơn !

[namdx]

Ta có:

f(2x)=2f(x), f(3x)=3f(x),....,f(nx)=nf(x)

suy ra f(n)=nf(1) với mọi n thuộc N.

ta cũng có f(m*1/m)=mf(1/m) => f(1/m)=f(1)/m

suy ra f(n/m)= n/m*f(1) với mọi m,n thuộc N.

Ta chứng minh được f(x)=-f(-x)

cho nên f(x)=x với mọi x thuộc Q.

Lại có

lim f(x) (x thuộc Q về x0 bất kì) = lim xf(1)= x0*f(1)

mà f(x) liên tục nên lim f(x) (x thuộc Q về x0 bất kì) = f(x0)

từ đó suy ra f(x)=xf(1) với mọi x thuộc R.

Nghiệm của bài toán f(x)=C*f(x)

Mình viết không đầy đủ cho lắm, bạn nên tham khảo cái sách về phương trình hàm chắc chắn có nói đến bài toán này