Chủ đề này có 2 trả lời

[xuanhung]

Giúp mình giải phương trình sau nhé:
$$\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}}+\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$$

[hoangtrong2305]

$\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}}+\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$

$\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}}+\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$

ĐKXĐ: $x> 0$

$\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}}+\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(2+\sqrt{x})(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{x}})}{(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}})(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{x}})}+\frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{x}})}{(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}})(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{x}})}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow -\frac{(2+\sqrt{x})(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{x}})}{\sqrt{x}}+\frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{x}})}{\sqrt{x}}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow -(2+\sqrt{x})(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{x}}\, \, )+(2-\sqrt{x})(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{x}})=\sqrt{2x}$

$\Leftrightarrow (2-\sqrt{x})(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{x}})-(2+\sqrt{x})(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{x}}\, \, )=\sqrt{2x}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}-\sqrt{2x}+2\sqrt{2-\sqrt{x}}-\sqrt{x(2-\sqrt{x})}-2\sqrt{2}-\sqrt{2x}+2\sqrt{2+\sqrt{x}}+\sqrt{x(2+\sqrt{x})}=\sqrt{2x}$

$\Leftrightarrow -3\sqrt{2}.\sqrt{x}+2(\sqrt{2+\sqrt{x}}+\sqrt{2-\sqrt{x}})+\sqrt{x}(\sqrt{2+\sqrt{x}}-\sqrt{2-\sqrt{x}})=0$

Đặt:

$\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{2+\sqrt{x}}+\sqrt{2-\sqrt{x}}\, \, \, ;a>0\\ b=\sqrt{2+\sqrt{x}}-\sqrt{2-\sqrt{x}} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow ab=2\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \frac{ab}{2}=\sqrt{x}$

Thay vào phương trình thành:

$\frac{-3\sqrt{2}ab}{2}+2a+\frac{ab^{2}}{2}=0$

$\Leftrightarrow -3\sqrt{2}ab+4a+ab^{2}=0$

$\Leftrightarrow a(b^{2}-3\sqrt{2}b+4)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0(false)\\ b=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}\\ b=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$


TH1:

$\sqrt{2+\sqrt{x}}-\sqrt{2-\sqrt{x}} =\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 4-2\sqrt{4-x} =2$

$\Leftrightarrow \sqrt{4-x} =1$

$\Leftrightarrow x=3$ (nhận)


TH2:

$\sqrt{2+\sqrt{x}}-\sqrt{2-\sqrt{x}} =\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 4-2\sqrt{4-x} =8$

$\Leftrightarrow \sqrt{4-x} =2$

$\Leftrightarrow x=0$ (loại)

Vậy phương trình có $1$ nghiệm


$$\boxed{x=3}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 04-05-2012 - 18:13

[Alexman113]

Em nghĩ vậy không biết sai sót gì xin chỉ báo giúp em.

Đặt $\sqrt{2+\sqrt{x}}=a\geq 0$ ; $\sqrt{2-\sqrt{x}}=b$
Ta có $ab=\sqrt{4-x}$
PT $\Leftrightarrow \frac{a^2}{\sqrt2+a}+\frac{b^2}{\sqrt2-b}=\sqrt2$
$\Rightarrow \sqrt2(a^2+b^2-2+ab)-ab(a-b)=2(a-b)$
$\Rightarrow \sqrt2(2+ab)=(2+ab)(a-b)$ chú ý $a^2+b^2=4$
Đến đây thì đơn giản rồi.
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm x=3