Chủ đề này có 1 trả lời

[25081997]

Cho a,b,c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$.CMR
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( a+b+c \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 25081997: 03-05-2012 - 15:42

[Nguyễn Hữu Huy]

Cho a,b,c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$.CMR
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( a+b+c \right )$

Ta có
$3(ab + bc + ac) \leq (a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) \leq 9$

$\Rightarrow a + b + c \leq 3$

Ta có

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \geq \sum \frac{2\sqrt{2}.a}{b + c + 2} \geq 2\sqrt{2}.[\frac{(a + b + c)^2}{2(ab + bc + ac) + 2(a + b + c)}] \geq 2\sqrt{2}\frac{a + b + c}{2 + \frac{2}{3}.(a + b + c)}$

Cần cm

$2\sqrt{2}\frac{a + b + c}{2 + \frac{2}{3}.(a + b + c)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( a+b+c \right )$

BĐT trên tương đương với $a + b + c \leq 3 $ (luôn đúng)
Vậy BĐT đc cm