Đến nội dung

Hình ảnh

Bất Đẳng Thức 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 79 trả lời

#61
NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Bài này không cần chuẩn hóa đâu bạn à :)
__
Bạn làm cụ thể ra luôn đi nhé!


không chuẩn hóa thì làm cồng kềnh lắm, bạn có cách khác thì viết ra đây đi
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#62
mathmath123

mathmath123

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
Cách làm của mình gần giống với cách của bạn,chỉ khác ở chỗ mình không chuẩn hóa mà sử dụng $p^{2}\geq 3q$

#63
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 33: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a\geq 2b$. Chứng minh rằng: $$14(a^2+b^2+c^2)\geq 5(a+b+c)^2$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#64
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết

Bài 33: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a\geq 2b$. Chứng minh rằng: $$14(a^2+b^2+c^2)\geq 5(a+b+c)^2$$

$\begin{array}{l}
14\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 5{\left( {a + b + c} \right)^2} \\
\Leftrightarrow 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 10\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0 \\
\end{array}$
Cố định a và c. Xét hàm:
$f\left( b \right) = 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 10\left( {ab + bc + ca} \right)$ với $b \in \left( {0;\frac{a}{2}} \right]$
$f'\left( b \right) = 18b - 10a - 10c < 0$
$ \Rightarrow f\left( b \right) \ge \frac{{25}}{4}{a^2} + 9{c^2} - 15ac = {\left( {\frac{5}{2}a - 3c} \right)^2} \ge 0$
Vậy ta có đpcm.

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#65
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài toán 34.[Vasile]
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{(a+b+c)\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )}\ge 1+\sqrt{1+\sqrt{\left (a^2+b^2+c^2\right )\left (\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right )}}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#66
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài toán 34.[Vasile]
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{(a+b+c)\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )}\ge 1+\sqrt{1+\sqrt{\left (a^2+b^2+c^2\right )\left (\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right )}}$$

Bài này thật ra trên diễn đàn có rồi :) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
$$(\sum a)(\sum \dfrac{1}{a})=\sqrt{(\sum a^2+2\sum bc)(\sum \frac{1}{a^2}+2\sum \frac{1}{bc})}$$
$$\ge \sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}+2\sqrt{ (\sum bc)(\sum \frac{1}{bc})}$$
$$=\sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}+2\sqrt{(\sum a)(\sum \frac{1}{a})}$$
Do đó $$\begin{bmatrix}
\sqrt{(\sum a)(\sum \frac{1}{a}-1)}
\end{bmatrix}^2\ge 1 +\sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}$$
Lấy căn bậc 2 hai vế ta thu được kết quả bài toán. Đẳng thức xảy ra khi $(a^2-bc)(b^2-ac)(c^2-ab)=0 \iff a^2=bc; b^2=ac;c^2=ab$
Ngoài ra ta có bài toán tương tự sau của anh Nguyễn Đình thi
Bài 35: $$\sqrt{(a+b+c)\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )}\ge 1+\sqrt{1+\sqrt{\left (a^3+b^3+c^3\right )\left (\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right )}}$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#67
cuocdoi2012

cuocdoi2012

    Lính mới

  • Banned
  • 3 Bài viết
Cách 2 bài 34.
Đặt $a+b+c=p^2, ab+bc+ca=q^2, abc=r^2$. Lúc đó, bất đẳng thức đã cho tương đương :
$$\dfrac{pq}{r}\ge 1+\sqrt{1+\dfrac{\sqrt{(p^4-2q^2)(q^4-2p^2r^2)}}{r^2}}$$
$$\Leftrightarrow 2\left (q^3-p^3r\right )^2\ge 0$$
Hiển nhiên đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuocdoi2012: 11-07-2012 - 14:56


#68
100trieumegaton

100trieumegaton

    Lính mới

  • Banned
  • 1 Bài viết
cách 3 bài 34.
Chuẩn hoá $a+b+c=1$. đặt $ab+bc+ca=q^2, abc=r^2$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{p}{q}\ge 1+\sqrt{1+\dfrac{\sqrt{(1-2q^2)(q^4-2r^2)}}{r^2}}$$
$$\Leftrightarrow p^2\ge r^2+\sqrt{(1-2q^2)(q^4-2r^2)}$$
Đặt $x=r^2$. Xét hàm số
$f(x)=x+\sqrt{(1-2q^2)(q^4-2x)}-p^2$
$f'(x)=1-\dfrac{\sqrt{1-2q^2}}{\sqrt{q^4-2x}} \le 0$
Suy ra hàm nghịch biến. Theo Schur, ta lại có :
$r\ge \dfrac{p(4q-p^2)}{9}=\dfrac{4q-1}{9}$
Suy ra $f®\le f\left (\dfrac{4q-1}{9}\right ) \le 0$
Suy ra ĐPCM.

#69
Breathless

Breathless

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
hay quá
MOD: Thay vì viết bài viết này hãy bấm nút like ở trên.
Mong bạn đọc thông báo này của diễn dàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-07-2012 - 20:34

Toán - Toán - Toán

#70
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
Bài 35: Cho các số dương $a,b,c$ chứng minh bất đẳng thức:
$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \sqrt{3}+1$
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#71
viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a;b;c>0$

\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \sum\limits_{cyclic} {\frac{a}{{a + 4b + 4c}} + k.\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \ge \frac{{10}}{3} + k\]

#72
dangerous_nicegirl

dangerous_nicegirl

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

làm cách trâu bò:

chuẩn hóa cho $ a+b+c=3 $ thì bất đẳng thức trở thành:

$ a^4+b^4+c^4 +abc(ab+bc+ca) \geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) $

đặt $ 3=a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r $ và chú ý các đẳng thức, bất đẳng thức sau:

$ a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr=81-36q+2q^2+12r $
$ a^2+b^2+c^2=p^2-2q=9-2q $
$ r \geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4p-9}{3} $ (bất đẳng thức schur)
thay vào bdt cần chứng minh ta được:

$ BDT \Leftrightarrow \frac{10}{3}q^2-42q+qr+12r+81 \geq 0 $ (1)

áp dụng bất đẳng thức schur ta có:

$ VT(1) \geq \frac{10}{3}q^2-42q+\frac{q(4q-9)}{3}+4(4q-9)+81 $

ta sẽ chứng minh $ \frac{10}{3}q^2-42q+\frac{q(4q-9)}{3}+4(4q-9)+81 \geq 0 $

$ \Leftrightarrow 14q^2-87q+135 \geq 0 $

$ \Leftrightarrow (q-3)(q-\frac{45}{14}) \geq 0 $ ( luôn đúng vì $ q \leq 3 $)

vậy bdt được chứng minh

ta có thể đánh giá như sau
$\frac{a^4+b^4+c^a}{ab+bc+ca}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq 2\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$
sau đó chứng minh$2\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+\frac{3abc}{a+b+c}-a^2+b^2+c^2\geq$0
thu gọn ta có bđt schur

#73
tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

Bài 35: Cho các số dương $a,b,c$ chứng minh bất đẳng thức:
$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \sqrt{3}+1$

ta sử dụng kq sau $\left ( a+b+c \right )^{2}\left ( \sum \frac{a}{b} \right )\geq 9\left ( \sum a^{2} \right )$
$\Leftrightarrow \sum S_{c}\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$
trong đó $S_{a}=\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{2a}{c}-\frac{5}{2}\leftrightarrow S_{b}=\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{2b}{a}-\frac{5}{2}\leftrightarrow S_{c}=\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{2c}{b}-\frac{5}{2}$
mình ko giỏi S0S lắm, nhưng cuối cùng mình cũng đã nghĩ ra
không mất tính tổng quát, giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$, nếu $c\geq b$ thì $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$ nên ko mất tính tổng quát ta chỉ cần xét $a\geq b\geq c$
khi đó dễ thấy $S_{a}\geq 0$ ta cần cm ( theo s0s )$S_{a}+2S_{b}\geq 0$ $S_{c}+2S_{b}\geq 0$ và $S_{b}+S_{c}\geq 0$
Thật vậy ta có $S_{a}+2S_{b}=2\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )+\left ( \frac{a}{b}+\frac{4b}{a} \right )+\frac{3b}{c}-\frac{15}{2}\geq 4+4+3-\frac{15}{2}$, tương tự
$S_{c}+2S_{b}> 0$ và $S_{b}+S_{c}> 0$
từ đây mọi người làm tiếp nha
áp dụng BĐT này vào bđt ban đầu, ta cần cm$3\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{\sum a^{2}}}\geq \sqrt{3}+1$
đặt $x=\sqrt{}\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq 1\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{2x^{2}+1}}+x\geq \sqrt{3}+1$
luôn đúng
sorry nha, hqua mình buồn ngủ qua nên lộn tùng phèo cả :lol:
$\leftrightarrow$ dấu này mình thay cho chữ và, vì tội lười

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 13-08-2012 - 22:56



#74
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết

bài này tử r0i
ta sử dụng kq sau $\left ( a+b+c \right )^{2}\left ( \sum \frac{a}{b} \right )\geq 3\left ( \sum a^{2} \right )$
$\Leftrightarrow S_{c}\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$
trong đó $S_{a}=\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{2a}{c}-\frac{5}{2}\leftrightarrow S_{b}=\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{2b}{a}-\frac{5}{2}\leftrightarrow S_{c}=\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{2c}{b}-\frac{5}{2}$
mọi người tự chứng minh nha
đặt $x=\sqrt{}\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq 1\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{2x^{2}+1}}+x\geq \sqrt{3}+1$
luôn đúng

Hơ,:o,bạn làm cho mình bạn coi hay sao mà hay thế,chả rõ ràng từ bước đầu tiên gì cả.
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#75
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết

Bài này thật ra trên diễn đàn có rồi :) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
$$(\sum a)(\sum \dfrac{1}{a})=\sqrt{(\sum a^2+2\sum bc)(\sum \frac{1}{a^2}+2\sum \frac{1}{bc})}$$
$$\ge \sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}+2\sqrt{ (\sum bc)(\sum \frac{1}{bc})}$$
$$=\sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}+2\sqrt{(\sum a)(\sum \frac{1}{a})}$$

Do đó $$\begin{bmatrix}
\sqrt{(\sum a)(\sum \frac{1}{a}-1)}
\end{bmatrix}^2\ge 1 +\sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}$$
Lấy căn bậc 2 hai vế ta thu được kết quả bài toán. Đẳng thức xảy ra khi $(a^2-bc)(b^2-ac)(c^2-ab)=0 \iff a^2=bc; b^2=ac;c^2=ab$
Ngoài ra ta có bài toán tương tự sau của anh Nguyễn Đình thi
Bài 35: $$\sqrt{(a+b+c)\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )}\ge 1+\sqrt{1+\sqrt{\left (a^3+b^3+c^3\right )\left (\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right )}}$$

Ai giải thích cho em 2 dòng này với :)
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#76
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Ai giải thích cho em 2 dòng này với :)

Sử dụng BĐT B.C.S ta có
$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)=\sqrt{(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\frac{1}{ab}+2\frac{1}{bc}+2\frac{1}{ac})}$$
$$\geq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}+2\sqrt{(ab+bc+ac)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})}$$
$$=\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}+2\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#77
e331990

e331990

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

HELP !!!!!!!!!!

mình không hiểu cái này

cho x,y,z không âm và x+y+z=3. chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geqslant 4$

mình làm như sau $M=x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz$

$M=x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\leqslant 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}+xyz=3t^{2}+t^{3}$

sau đó khảo sát hàm số thì thấy $0\leq 3t^{2}+t^{3}\leq 4$

Do $M\geq 3t^{2}+t^{3}\geq 0$

điều này trái với đề không hiểu tại sao ?????????????????????????????


E33


#78
sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Bài này sử dụng tiếp tuyến.
Ta dễ dàng có được đánh giá :
\[\frac{1}{{2 + 6{a^2} + 9{a^4}}} \ge - \frac{{48}}{{289}}\left( {a - 1} \right) + \frac{1}{{17}}\]
Tương tự với $b$ rồi cộng lại ta được:
$P \ge \frac{2}{{17}}$. Dấu = khi $a=b=1$.

Cách giải khác cho bài này

Sử dụng BĐT phụ $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}$ với $x,y\ge1$ ta có

$P=\frac{1}{1+{(3a^2+1)}^2}+\frac{1}{1+{(3b^2+1)}^2}\ge\frac{2}{{(3a^2+1)}{(3b^2+1)}}$

ta có $1+(3a^2+1)(3b^2+1)=9t^2-6t+14\le17$ với $t=ab$ và t thuộc đoạn từ 0 đến 1

Từ đó suy ra $P\ge\frac{2}{17}$ .Dấu = xảy ra khi $a=b=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieu dao chich: 18-06-2013 - 17:44


#79
vanma018

vanma018

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Sử dụng BĐT:

\[\frac{1}{{1 + y}} + \frac{1}{{1 + z}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {yz} }} = \frac{2}{{1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\]

Bài toán trở về 1 biến:

Ngoài ra có thể chứng minh BĐT thông qua hàm Nêpe

làm sao mà có BĐT 1/(1+y) +1/(1+z) lớn hơn hoặc bằng 2/(1+ can(yz)) vậy bạn,bạn giải thích kĩ 1 tí được không



#80
anhminhnam

anhminhnam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Cho mình hỏi câu này với: Cho a,b,c>0,abc=1, CMR: 1+1/(a+b+c)>=4/(ab+bc+ca)


:like Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!  :like 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh