Cho $a,b,c \ge 0$ và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:$$\dfrac{ab}{(a+b)^2}+\dfrac{bc}{(b+c)^2}+ \dfrac{ca}{(c+a)^2} \le \dfrac{1}{4}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
CMR: $\frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{( c+a)^2} \le \frac{1}{4}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Bắt đầu bởi Alexman113, 05-05-2012 - 19:37
#2
Đã gửi 05-05-2012 - 21:11
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
Bài này theo mình nghĩ là ta nên đưa về S.O.S
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương :
$$\sum{\left [\dfrac{(a-b)^2}{4(a+b)^2}-\dfrac{2c(a-b)^2}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\right ]}\ge 0$$
Đến đây, chỉ là một bước dễ dàng. Còn cách khác, mình sẽ thử sau vậy .
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương :
$$\sum{\left [\dfrac{(a-b)^2}{4(a+b)^2}-\dfrac{2c(a-b)^2}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\right ]}\ge 0$$
Đến đây, chỉ là một bước dễ dàng. Còn cách khác, mình sẽ thử sau vậy .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 05-05-2012 - 21:12
- Poseidont yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#3
Đã gửi 29-07-2015 - 13:54
Nguyenhuyen_AG
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 945 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b,c \ge 0$ và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:$$\dfrac{ab}{(a+b)^2}+\dfrac{bc}{(b+c)^2}+ \dfrac{ca}{(c+a)^2} \le \dfrac{1}{4}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
Bài toán được suy ra từ đẳng thức
\[\sum \dfrac{ab}{(a+b)^2} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} =-\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{4(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}.\]
- Zaraki yêu thích
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
