ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 - LẦN 6- CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Thi ngày: 06/05/2012
Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 3m\left( {m - 2} \right)x + 1$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=0$
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của $m$, các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng $y = \frac{1}{2}x + 1$.
Câu 2. (2 điểm)
1. Giải phương trình: ${\tan ^2}3x\tan 5x + 2\tan 3x - \tan 5x = 0$
2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {y^7} + {y^6} - 6{x^2} = 0\\ {y^5} + \frac{{{x^3}}}{{{y^3}}} = {x^2} + x{y^2} \end{array} \right.$
Câu 3. (1 điểm)Tính tích phân: $I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\cos }^4}x{{\sin }^2}x}}} $
Câu 4. (1 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều $ S.ABC$ có góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt đáy $(ABC)$ bằng $\alpha $, khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $h$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $h$ và $\alpha $
Câu 5. (1 điểm)
Cho các số $a,b$ thỏa mãn $0 \le a,b \le 1$. Chứng minh rằng:
\[2\sqrt {\left( {1 - {a^2}} \right)\left( {1 - {b^2}} \right)} \le 2\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + 1\]
Câu 6. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường tròn $\left( {{S_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1$ và $\left( {{S_2}} \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4$. Viết phương trình đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với cả hai đường tròn $(S_1)$ và $(S_2)$, biết tâm $I$ thuộc đường thẳng $d: x-y=0$.
2. Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( {4; - 1;2} \right),\,\,B\left( {1;2;2} \right),\,\,C\left( {1; - 1;5} \right)$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều. Tìm tọa độ điểm $S$ sao cho hình chóp $S.ABC$ là hình chóp đều và cạnh bên $SA$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc bằng $30^0$, biết rằng tung độ của điểm $S$ là số dương.
Câu 7. (1 điểm)
Cho các số phức ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn: ${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = {\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)^2}$. Chứng minh rằng: $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$
----HẾT----
