Chủ đề này có 2 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $(x+y)(y+z)(z+x) = 8.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}} + \frac{1}{x+2y} + \frac{1}{y+2z} + \frac{1}{z+2x}$$

Trích Đề thi thử ĐH lần IV năm 2012 - Trường Chuyên Lê Qúy Đôn - Bình Định

[Le Quoc Tung]

Sử dụng kết quả quen thuộc sau $$8=(x+y)(x+z)(y+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xz+yz+xz)\Leftrightarrow \frac{9}{x+y+z}\geq xy+xz+yz$$
Suy ra:$\frac{9}{\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\geq \frac{9}{x+y+z}\geq xy+xz+yz$

$$\frac{1}{x+2y} + \frac{1}{y+2z} + \frac{1}{z+2x}=\frac{z}{xz+2yz}+\frac{x}{xy+2xz}+\frac{y}{yz+2yx}\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{3(xy+xz+yz)}\geq$$
$$\geq \frac{3(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})}{3(xy+xz+yz)}\geq \frac{(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})^2}{9}\geq \sqrt[3]{xyz}$$
$P=\sqrt[3]{xyz}+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1 \,\,\,\,\,\,\, \blacksquare$

Dòng thuứ 2 từ dưới lên có sao không bạn
Làm sao mà kết luận $\frac{(\sum \sqrt{xy})^{2}}{9}\geq \sqrt[3]{xyz}$

[Ispectorgadget]

Dòng thuứ 2 từ dưới lên có sao không bạn
Làm sao mà kết luận $\frac{(\sum \sqrt{xy})^{2}}{9}\geq \sqrt[3]{xyz}$

Nhầm lẫn 1 chút. Sửa lại
Ta có: $$ 8 \ge (x+y)(y+z)(z+x) \ge \frac89 (xy+yz+zx) (x+y+z) \ge \frac89 (xy+yz+zx) \sqrt{3(xy+yz+zx)} \Rightarrow xy+yz+zx \le 3$$
Mặt khác theo BĐT AM-GM thì ta có:
$$P \ge \frac{1}{\sqrt[3]{xyz} } + \frac{3}{\sqrt[3]{(x+2y)(y+2z)(z+2x)}} \ge 2 \sqrt{\frac{3}{\sqrt[3]{(xz+2yz)(yx+2zx)(zy+2xy)}}} $$
$$\ge 2 \frac{3}{\sqrt{3(xy+yz+zx)}} = 2$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-05-2012 - 23:01