Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Phương trình nghiệm nguyên: \[{x^3} + 4x + 1 = {y^4}\]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 vo thi giang

vo thi giang

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-05-2012 - 14:04

Tìm nghiệm nguyên của pt: ${x^3} + 4x + 1 = {y^4}$


Bạn học gõ $\LaTeX$ và đặt tiêu đề rõ ràng bằng $\LaTeX$ nhé.



#2 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-06-2012 - 09:49

Xét phương trình $x^3+4x+1=y^4\quad(1)$

Ta có: $x^3+4x+1=y^4\ge 0 \Rightarrow x\ge 0$

Suy ra $x(x^2+4)=(y^2+1)(y+1)(y-1) \Rightarrow |y|\ge 1$

$\bullet\quad$ Nếu $y=2z,\quad (z\in\mathbb{N}^*)$
Suy ra
$x(x^2+4)= (4z^2+1)(2z+1)(2z-1) \Rightarrow x=2k+1\quad (k\in \mathbb{N}) \Rightarrow \text{gcd}(x,\;x^2+4)=1$
$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}\begin{cases}2z-1=1 \\ 2z+1=x \\ 4z^2+1=x^2+4\end{cases} \\ \begin{cases}2z-1=x \\ 2z+1=1 \\ 4z^2+1=x^2+4\end{cases} \end{matrix}\right.\Rightarrow \text{Vô nghiệm}$
$($Do vế 3 nhân tử của vế phải đôi một nguyên tố cùng nhau, mà $x\ge 1)$

$\bullet\quad$ Nếu $y=-2z,\quad (z\in\mathbb{N}^*)$ tương tự trên suy ra vô nghiệm

Do đó $y=2z+1\quad (z\in\mathbb{Z})$
Khi đó: $x(x^2+4)=(4z^2+4z+2)(2z+2)(2z)\quad\Rightarrow x=2k,\quad(k\in \mathbb{N})$
$\Rightarrow k(k^2+1)=z(z+1)(2z^2+2z+1)\quad(2)$

$\bullet\quad$ Nếu $z=0,\;\text{ hoặc }\;z=-1$ thì $k=0$ lúc đó (1) có nghiệm là $x=0;\;y=\pm 1$

$\bullet\quad$ Nếu $z\ne 0,,\;\text{ hoặc }\;z\ne -1$ suy ra vế trái (2) dương.
Lúc đó do 3 nhân tử của vế phải (2) đôi một nguyên tố cùng nhau trong đó $z$ là nhỏ nhất còn $(2z^2+2z+1)$ lớn nhất

Suy ra $\begin{cases}z=1 \\ z+1=k \\ 2z^2+2z+1=k^2+1\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}z=-k \\ z+1=-1 \\ 2z^2+2z+1=k^2+1\end{cases}$
Lúc đó (1) có nghiệm là $x=4;\;y=\pm 3$

Đáp số: $\boxed{\begin{cases}x=0 \\ y=\pm 1\end{cases} \vee \begin{cases}x=4 \\ y=\pm 3\end{cases}}$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#3 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 31-07-2012 - 17:51

Mình có 1 cách giải khác, tuy phức tạp hơn 1 chút nhưng để các bạn tham khảo.
Từ PT ban đầu ta có thể suy ra $x\ge0$.
Một số chính phương là số có dạng $4k$ hoặc $4k+1$, vì vậy ta suy ra $x=4k$ để $x^3+4x+1$ là một số chính phương.
Suy ra $y$ lẻ, tức là $y\ne x$.
Thử $x=0$ ta thấy thỏa mãn. (TH này $|y|=1$)
Nếu $x\ne 0$ thì $x\ge4$.
Từ đó suy ra $VT\ge 4x^2+4x+1=(2x+1)^2$ và $VT\le x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2$.
Vậy $2x+1\le y^2\le x^2+1$. Trong đoạn $[2x+1;x^2+1]$ chỉ có các số chính phương là $x^2,(x-1)^2$ thỏa mãn với $\forall x\ge 4.$
Theo trên, $y\ne x$ nên ta được $y^2=(x-1)^2$ suy ra $|y|=x-1.$
Thay vào PT ban đầu ta giải ra được nghiệm $x=4$. (TH này $|y|=3$)

KL: Vậy nghiệm nguyên $(x;y)$ của PT là $(0;-1);(0;1);(4;-3);(4;3)$.

@nguyenta98: Cách kẹp của bạn sai rồi bạn ạ :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-07-2012 - 18:18


#4 iamnhl

iamnhl

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:...
  • Sở thích:phản biện?

Đã gửi 28-06-2014 - 09:21

Xét phương trình $x^3+4x+1=y^4\quad(1)$

Ta có: $x^3+4x+1=y^4\ge 0 \Rightarrow x\ge 0$

Suy ra $x(x^2+4)=(y^2+1)(y+1)(y-1) \Rightarrow |y|\ge 1$

$\bullet\quad$ Nếu $y=2z,\quad (z\in\mathbb{N}^*)$
Suy ra
$x(x^2+4)= (4z^2+1)(2z+1)(2z-1) \Rightarrow x=2k+1\quad (k\in \mathbb{N}) \Rightarrow \text{gcd}(x,\;x^2+4)=1$
$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}\begin{cases}2z-1=1 \\ 2z+1=x \\ 4z^2+1=x^2+4\end{cases} \\ \begin{cases}2z-1=x \\ 2z+1=1 \\ 4z^2+1=x^2+4\end{cases} \end{matrix}\right.\Rightarrow \text{Vô nghiệm}$
$($Do vế 3 nhân tử của vế phải đôi một nguyên tố cùng nhau, mà $x\ge 1)$

$\bullet\quad$ Nếu $y=-2z,\quad (z\in\mathbb{N}^*)$ tương tự trên suy ra vô nghiệm

Do đó $y=2z+1\quad (z\in\mathbb{Z})$
Khi đó: $x(x^2+4)=(4z^2+4z+2)(2z+2)(2z)\quad\Rightarrow x=2k,\quad(k\in \mathbb{N})$
$\Rightarrow k(k^2+1)=z(z+1)(2z^2+2z+1)\quad(2)$

$\bullet\quad$ Nếu $z=0,\;\text{ hoặc }\;z=-1$ thì $k=0$ lúc đó (1) có nghiệm là $x=0;\;y=\pm 1$

$\bullet\quad$ Nếu $z\ne 0,,\;\text{ hoặc }\;z\ne -1$ suy ra vế trái (2) dương.
Lúc đó do 3 nhân tử của vế phải (2) đôi một nguyên tố cùng nhau trong đó $z$ là nhỏ nhất còn $(2z^2+2z+1)$ lớn nhất

Suy ra $\begin{cases}z=1 \\ z+1=k \\ 2z^2+2z+1=k^2+1\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}z=-k \\ z+1=-1 \\ 2z^2+2z+1=k^2+1\end{cases}$
Lúc đó (1) có nghiệm là $x=4;\;y=\pm 3$

Đáp số: $\boxed{\begin{cases}x=0 \\ y=\pm 1\end{cases} \vee \begin{cases}x=4 \\ y=\pm 3\end{cases}}$

t thấy bài giải chưa hợp lý

ví dụ 25.63=25.7.9 mà 7,9,25 nguyên tố đôi 1 cùng nhau,25 và 63 cũng nguyên tố cùng nhau

xét vd trong bài x($x^{2}$+4)=(4$z^{2}$+1)(2z-1)(2z+1)

nếu giả sử có $p^{m}$ là ước của 2z-1,$q^{n}$ là ước của 2z+1 và đó là số mũ cao nhất

thì x= $p^{m}$.$q^{n}$ thì sao?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh