Chủ đề này có 2 trả lời

[moonlight0610]

Giả sử a₁, a₂,...a_n là các số thực dương sao cho a₁ +a₂ + ... + a_n = n. Chứng minh với mọi số nguyên dương k ta có bất đẳng thức:
$a_1^k + a_2^k + ... + a_n^k \geq a_1^{k-1} + a_2^{k-1} +...+ a_n^{k-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-05-2012 - 23:06

[Ispectorgadget]

Đây là 1 cách
Khống mất tính tổng quát giả sử $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n\Rightarrow a_1^{k-1}\geq a_2^{k-1}\geq ...\geq a_n^{k-1}$
Áp dụng BĐT Chebishev ta có:$VT\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)}{n}(a_1^{k-1}+ a_2^{k-1}+ ...+ a_n^{k-1})=VP$

Bài này thật ra còn 1 cách khá dài đợi thi HK xong làm.

[Crystal]

Giả sử a₁, a₂,...a_n là các số thực dương sao cho a₁ +a₂ + ... + a_n = n. Chứng minh với mọi số nguyên dương k ta có bất đẳng thức:
$a_1^k + a_2^k + ... + a_n^k \geq a_1^{k-1} + a_2^{k-1} +...+ a_n^{k-1}$

Chém luôn.

Ta có: \[\left( {{a^{k - 1}} - 1} \right)\left( {a - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {a^k} - {a^{k - 1}} \ge a - 1\]
Do đó: \[\left( {a_1^k + a_2^k + ... + a_n^k} \right) - \left( {a_1^{k - 1} + a_2^{k - 1} + ... + a_n^{k - 1}} \right) \ge \left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right) - n = 0\]
\[ \Rightarrow a_1^k + a_2^k + ... + a_n^k \ge a_1^{k - 1} + a_2^{k - 1} + ... + a_n^{k - 1} \Rightarrow Q.E.D\]