$\frac{10a}{a^2+1}+\frac{10b}{b^2+1}+\frac{10c}{c^2+1}\leqslant 9;$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChuDong2008: 10-05-2012 - 07:17
Cho a, b, c là 3 số dương và $ a+ b+c =1 $. Chứng minh:
Bắt đầu bởi ChuDong2008, 10-05-2012 - 07:16
#1
Đã gửi 10-05-2012 - 07:16
ChuDong2008
-
- Thành viên
-
- 119 Bài viết
Trung sĩ
Cho a, b, c là 3 số dương và $a + b + c =1$ . Chứng minh:
$\frac{10a}{a^2+1}+\frac{10b}{b^2+1}+\frac{10c}{c^2+1}\leqslant 9;$
$\frac{10a}{a^2+1}+\frac{10b}{b^2+1}+\frac{10c}{c^2+1}\leqslant 9;$
1 + 1 = 2 thì 2 - ..?... = 1 ? " Đau đầu quá! "
#2
Đã gửi 10-05-2012 - 10:38
ToanHocLaNiemVui
-
- Thành viên
-
- 183 Bài viết
Trung sĩ
Theo mình biết thì đây gần giống với bài BĐT VĐ Toán Ba Lan 1996, bài này có rất nhiều cách giải. Nhưng theo mình cách hay nhất là phương pháp tiếp tuyến. Bài toán này có thể làm chặt điều kiện của 3 biến: $a,b,c\geq \frac{-3}{4}$. Sau đây là cách giải bằng PP tiếp tuyến:
Solution:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum _{a,b,c}\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$
Nhận thấy dấu "=" xảy ra khi : $a=b=c=\frac{1}{3}$, nên:
Xét hàm số: $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$ có PT tiếp tuyến tại $x_{0}=\frac{1}{3}$ là: $y=\frac{36x+3}{50}$. Từ đó ta sẽ đánh giá:
$f(x)\leq \frac{36x+3}{50}$. Dễ dàng c/m đc BĐT này bằng cách biến đổi tương đương.
Từ đó, ta có:
$\sum _{a,b,c}\frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum _{a,b,c}\frac{36a+3}{50}=\frac{36(a+b+c)+9}{50}=\frac{9}{10}$.
$\Rightarrow$ Q.E.D
Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.
P/s: Bạn cũng có thể c/m bằng PP Cauchy ngược dấu.
Solution:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum _{a,b,c}\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$
Nhận thấy dấu "=" xảy ra khi : $a=b=c=\frac{1}{3}$, nên:
Xét hàm số: $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$ có PT tiếp tuyến tại $x_{0}=\frac{1}{3}$ là: $y=\frac{36x+3}{50}$. Từ đó ta sẽ đánh giá:
$f(x)\leq \frac{36x+3}{50}$. Dễ dàng c/m đc BĐT này bằng cách biến đổi tương đương.
Từ đó, ta có:
$\sum _{a,b,c}\frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum _{a,b,c}\frac{36a+3}{50}=\frac{36(a+b+c)+9}{50}=\frac{9}{10}$.
$\Rightarrow$ Q.E.D
Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.
P/s: Bạn cũng có thể c/m bằng PP Cauchy ngược dấu.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 10-05-2012 - 10:40
- Nguyễn Hữu Huy yêu thích
Đừng Sợ Hãi Khi Phải
Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn
Mà Hãy Vui Mừng Vì
Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!
___________________________________________________________________________
Tự hào là thành viên của
VMF
#3
Đã gửi 10-05-2012 - 10:47
NLT
-
- Hiệp sỹ
-
- 871 Bài viết
Trung úy
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
