Bổ đề:
Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$
Chứng minh bổ đề:
Xét số chính phương đó là $m^2$
Nếu $m=10n$ thì $m^2$ có tận cùng là 0
Nếu $m=10n+1$ thì $m^2=10(10n^2+2n)+1$ có chữ số tận cùng là 1
Nếu $m=10n+2$ thì $m^2=10(10n^2+4n)+4$ có chữ số tận cùng là 4
Nếu $m=10n+3$ thì $m^2=10(10n^2+6n)+9$ có chữ số tận cùng là 9
Nếu $m=10n+4$ thì $m^2=10(10n^2+8n+1)+6$ có chữ số tận cùng là 6
Nếu $m=10n+5$ thì $m^2=10(10n^2+10n+2)+5$ có chữ số tận cùng là 5
Nếu $m=10n+6$ thì $m^2=10(10n^2+12n+3)+6$ có chữ số tận cùng là 6
Nếu $m=10n+7$ thì $m^2=10(10n^2+14n+4)+9$ có chữ số tận cùng là 9
Nếu $m=10n+8$ thì $m^2=10(10n^2+16n+6)+4$ có chữ số tận cùng là 4
Nếu $m=10n+9$ thì $m^2=10(10n^2+18n+8)+1$ có chữ số tận cùng là 1
Tóm lại Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$
________________________________________________________
Ta có:
Vì $p$ là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp:
+Nếu $p=2$ thì $5^p+12^p=169=13^2$ là số chính phương nên $p=2$ thỏa mãn đề bài
+Nếu $p>2$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p$ là số nguyên dương lẻ và $p \geq 3$
Đặt $p=2k+1$ ($k$ là số nguyên dương)
Khi đó ta thấy:
$5^p-5=5^{2k+1}-5=5^{2k}.5-5=5(5^{2k}-1)$
Vì $5$ là số lẻ nên $5^{2k}$ cũng là số lẻ
Suy ra $5^{2k}-1$ là số chẵn.
Từ đó $5^p-5=5(5^{2k}-1)$ chia hết cho 10 (vì $(2,5)=1$) hay $5^p$ có chữ số tận cùng là 5 với mọi $p$ là số nguyên dương lẻ.
Ta lại có:
-Xét $k$ lẻ thì đặt $k=2t+1$. ($t$ là số nguyên dương)
Suy ra $p=2t+1=4t+3$.
Vậy $12^p-8=12^{4t+3}-8=12^{4t}.1728-8=8(216.12^{4t}-1)=8(216(12^{4t}-1)+215)$
Vì $12^{4t}-1=20736^t-1=20735(20736^{t-1}+20736^{t-2}+...+1)$
nên $12^{4t}-1$ chia hết cho 5, suy ra $216(12^{4t}-1)+215$ cũng chia hết cho 5
Do đó $12^p-8=8(216(12^{4t}-1)+215)$ chia hết cho 10 (vì $(5,2)=1$)
Suy ra $12^p$ có chữ số tận cùng là 8 với mọi $p=2k+1$ (với $k$ là số nguyên dương lẻ)
-Xét k chẵn thì đặt $k=2u$. ($u$ là số nguyên dương)
Suy ra $p=4u+1$.
Vậy $12^{p}-2=12^{4u+1}-2=12^{4u}.12-2=2(6.12^{4u}-1)=2(6.(12^{4u}-1)+5)$
Vì $12^{4u}-1=20736^u-1=20735(20736^{u-1}+20736^{u-2}+...+1)$
nên $12^{4u}-1$ chia hết cho 5, suy ra $2(6.(12^{4u}-1)+5)$ cũng chia hết cho 5
Do đó $12^p-2=2(6.(12^{4u}-1)+5)$ chia hết cho 10 (vì $(5,2)=1$)
Suy ra $12^p$ có chữ số tận cùng là 8 với mọi $p=2k+1$ (với $k$ là số nguyên dương chẵn)
Tóm lại: với mọi giá trị $p$ lẻ thì $12^p$ có chữ số tận cùng là $2$ hoặc $8$
Vậy $5^p+12^p$ có chữ số tận cùng là $3$ hoặc $7$.
Ta lại thấy số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$ (theo bổ đề)
Suy ra $5^p+12^p$ không là số chính phương với $p$ lẻ
__________________________________________________________________
Vậy chỉ có $p=2$ thỏa mãn đề bài
Lời giải quá dài dòng. Dễ bị gạch nếu gặp phải giám khảo "khó tính" lúc trời nóng.$MR1 \rightarrow 6; MR7 \rightarrow 10; MR11 \rightarrow 15$, mỗi "nhóm bà con" đó sẽ được coi là 1 mở rộng.D-B=2.5hE=10+1+1+1+1+1=15F=7*10=70S=160.5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-05-2012 - 13:28