Đến nội dung

Hình ảnh

Trận 13 - "MSS19 Kir" VS ALL

- - - - -

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 71 trả lời

#21
danganhaaaa

danganhaaaa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
ta có:
vì p là số nguyên tố nên ta xét 2 trường hợp:
# nếu p=2
ta có $5^{p}+12^{p}=5^{2}+12^{2}=169=13^{2}$ (là số chính phương) (chọn)
# nếu $p> 2$.
do p là số nguyên tố và 2 là sô nguyên tố duy nhất chia hết cho 2 nên ta được p là số lẻ.
suy ra $5^{p}$ chia hết cho 5 với mọi p (vì 5 chia hết cho 5).
lại có 5 là số lẻ nên $5^{p}$ là số lẻ với mọi p.
suy ra $5^{p}$ có tận cùng là 5.
đặt p=2k+1(k thuộcZ*)

+ xét k lẻ .đặt k=2a+1
suy ra p=4a+3.
suy ra $12^{p}-8$=$12^{4a+3} - 8=12^{4a}.1728-8=8(216.12^{4a}-1)=8\left [ 216(12^{4a}-1)+215 \right ]$
vì $12^{4a}-1$=$20736^{a}-1$
$=20735(20746^{a-1}+20746^{a-2}+...+1)$ chia hết cho 5 (vì 20735 chia hết cho 5)
suy ra $12^{4t}-1$ chia hết cho 5
suy ra $216(12^{4a}-1)+215$ chia hết cho 5
suy ra $12^{p}-8$ chia hết cho 10.(vì (2,5)=1)
suy ra $12^{p}$ tận cùng là 8.

+ xét k chẵn.đặt $k=2b$ (b thuoc Z*).
suy ra $p=4b+1$.
$\Rightarrow 12^{p}-2=12^{4b+1}=12^{4b}.12-2=2(6.12^{4b}-1)=2\left [ 6(12^{4b}-1)+5 \right ]$
vì $12^{4b}-1=20736^{b}-1=20735(20746^{b-1}+20746^{b-2}+...+1)$. chia chia hết cho 5 (vì 20735 chia hết cho 5)
suy ra $\left [ 6(12^{4b}-1)+5 \right ]$ chia hết cho 5.
suy ra $2\left [ 6(12^{4b}-1)+5 \right ]$ chia hết cho 10.
suy ra $12^{p}$ tận cùng là 2

như vậy ta có $5^{p}+12^{p}$ tận cùng là 7 hoac 3.
lại có một số chính phương chỉ có thể tận cùng là 0;1;4;5;6;9 (dễ chứng minh) nên với p là số lẻ thì $5^{p}+12^{p}$ không là sô chính phương.
tóm lại chỉ với p=2 thì tm dk đề bài.
vậy p=2.

Chưa chứng minh chữ số tận cùng số chính phương là 0;1;4;5;6;9
D-B=6h
E=9+1=10
F=0
S=72

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-05-2012 - 13:33

ĐĂNG ANH VÍP BRỒ 97

#22
danganhaaaa

danganhaaaa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
nếu tớ có lỗi Latex thì bỏ qua nhé ,anh Xunsist nhé.please!!! :lol: :lol: :lol:
ĐĂNG ANH VÍP BRỒ 97

#23
Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: $5^{p}+12^{p}$ là số chính phương.

Thời gian làm bài tính từ 19h23.


Mở rộng 1 : bài toán trên có thể giải theo pp sử dụng module 3
Và từ đó ta nghĩ tới bài toán tổng quát hơn
$(3r + 2)^p + 3^r = y^2$ (với r, p , y là các số nguyên dương , p lẻ)

Khi đó sử dụng pp module 3 , ta hoàn toàn cm được
$VP \equiv 2 (mod 3)$
Tròn khi đó theo bổ đề $y^2 \equiv 0 ; 1 (mod 3)$
Từ đó ta thấy sự mâu thuẫn giữa VP và VT
Vậy nên PT vô nghiệm
+ rõ ràng nếu sử dụng pp module khác thì chúng ta cũng có các mở rộng khác tương tự như trên
Mở rộng 2 :
Sử dụng tính chia hết , ta sẽ có
$5^p + 12^p = 1! + 2! + 3! + .... + x! (x , p nguyên)$

Xét TH $p = 0$ , PT vô nghiệm
Khi đó xét tính chia hết
Với $p > 0$
VT ko chia hết 3
Trong khi VP chia hết 3
Vậy nên PT vô nghiệm với mọi p , x nguyên)

+) từ 2 mở rộng trên , đưa tới 1 mở rộng khác , nhưng ko liên quan tới bài toán
$1! + 2! + ... + x! = y^2$
Vì bài toán trên chỉ là 1 bắc cầu của 2 Mở rộng , ko liên quan lắm tới bài toán nên xin ko dám lấn sân quá , chỉ nêu sơ sơ !
Chỉ cần xét mod 5 (có nhiều cách khác , nhưng em làm theo hương đó )

Mở rộng 3:
Rất thú vị nếu ta đảo số mũ
$p^5 + p^{12} = 2^y$

$p^5(1 + p^7) = 2^y$
Xét $p = 1$ thì $y = 1$
Xét $p > 1$
Do 2 là số nguyên tố , nên $p^5$ và $p^7 + 1$ chỉ có thể có là các lũy thừa của 2 (chú ý vs đk $p > 1$ thì $p^5 > 1$ ; $p^7 + 1 > 2$)
Tuy nhiên rõ ràng nếu xét chẵn lẽ thì :
+ p chẵn thì $p^5$ chẵn , nhưng $p^7 + 1$ lẻ , như vậy $p^7 +1$ ko thể là lũy thừa của 2
+ p lẻ cũng tương tự , $p^5$ sẽ là 1 số lẻ lớn hơn 1 , khi đó nó ko thể là 1 lũy thừa của 2

Vậy nên PT vô nghiệm khi $p > 1$

Kết luân pt có duy nhất 1 nghiệm $p = 1$

Mở rộng 4 :
Rõ ràng khi thấy PT trên , ta nghĩ tới PT fecma
Nhưng liệu "nội công" có đủ để đọc đc chứng minh hiện tại của nó (chưa nói tới hiểu và làm)
$x^n + y^n = z^n$ (n nguyên dương lớn hơn 2)

Nhưng chắc chúng ta có đủ sức để làm với bài toán này !

$5^p + 12^p = k^p$ (với p nguyên dương bất kì)
(với $p = 0$ thì bài toán VN)
Ta xét TH p > 0
$\Leftrightarrow k^p - 12^p = 5^p$

$\Leftrightarrow (k - 12)(k^{p - 1} + k^{p -2}.12 + .... + k.12^{k-2} + 12^{k -1}) = 5^p$

$\Leftrightarrow (k - 12)(k + 12)(k^{p - 2} + 12^2.k^{p - 4} + ... + 12^{k - 2}) = 5^p$

Thấy rằng 5 là 1 số nguyên tố
nên $5^p$ chỉ có các ước là các lũy thừa của 5
Từ đó
Ta có thể thấy được
với a và b là các số nguyên dương bé hơn p
$k - 12 = 5^a$

$k + 12 = 5^b$

Giả sử $b = a + c$ ( c nguyên dương)

Việc giải PT này ko quá khó
Trừ 2 vế PT , ta có

$5^b - 5^a = 24$

$\Leftrightarrow 5^a(5^c - 1) = 24$

Khi đó do VP ko chia hết 5
Nên $5^a = 1 \Rightarrow a = 0$
KHi đó
$k = 13$
Lúc đó thế vào PT $5^p + 12^p = 13^p$
Thấy PT có duy nhất 1 nghiệm , $p = 2$ (p =2 là TH bài toán trên)
Còn lại theo định lí fec ma thì với $p > 2$ , PT vô nghiệm

Vậy bài toán trên chỉ có 2 nghiệm $(2 ; 13)$

Mở rộng sao ngắn quá !? Phải cho nó dài dài tý nạ !

P . I = A . 22


#24
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Xét $p=2\Rightarrow 5^p+12^p=5^2+12^2=169=13^2\Rightarrow$ chọn.
Xét $p>2\Rightarrow p$ lẻ.
Nhận xét $12^p\equiv 0 (mod 3)$ và $5^p\equiv (-1)^p\equiv -1 (mod 3)$
$\Rightarrow 5^p+12^p\equiv -1\equiv 2 (mod 3)$
Do 1 số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc $1$ (điều này dễ chứng minh, ta xét các trường hợp đồng dư mod 3)$\Rightarrow p>2$ không thỏa mãn.
Vậy $p=2.$
Bài dễ quá. :icon6:

Chưa chứng minh số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.
D-B=13.1h
E=9
F=0
S=61.9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-05-2012 - 13:35


#25
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
MR4: Không dừng lại ở ${5^p},{12^p}$ ta mở rộng thêm một tí, chẳng hạn:
CMR tồn tại nhiều nhất 1 số nguyên tố p thỏa: ${5^p} + {12^p} + {3^p} + {16^p} + 5$ là số chính phương.
Dễ thấy bài này có cách giải tương tự như bài MR1 nhưng, có một điều là MR2 khá lộ liễu, ta sẽ giải quyết bài này, đầu tiên, ta nhận thấy modulo 3 &4 thì không thể giải quyết được gì, điều đó khiến ta cảm thấy hơi bối rối, khó khăn, nhưng hãy thử với modulo 8, ta sẽ thấy một điều rất thú vị:
Xét p>2, vì p nguyên tố nên p lẻ, do đó:
${5^p} \equiv {\left( { - 3} \right)^p} \equiv - {3^p}\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow {5^p} + {3^p} \equiv 0\left( {\bmod 8} \right)$ (p lẻ)
${12^p} \equiv {\left( { - 4} \right)^p} \equiv - {4^p}\left( {\bmod 8} \right)$
(p lẻ)
${16^p} \equiv {4^p}\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow {12^p} + {16^p} \equiv 0\left( {\bmod 8} \right)$
$ \Rightarrow {5^p} + {3^p} + {12^p} + {16^p} + 5 \equiv 5\left( {\bmod 8} \right)$
------------
Đến đây ta sử dụng bổ đề sau:
Mọi số chính phương khi chia cho 8 không có số dư là 5.
Đặt số chính phương đó là ${a^2}$ (a tự nhiên) thì:

$\left[ \begin{array}{l}
a \equiv 0\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv \pm 1\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv \pm 2\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv \pm 3\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv 4\left( {\bmod 8} \right) \\
\end{array} \right.$
=>\[\left[ \begin{array}{l}
a \equiv 0\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv 1\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv 4\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv 9 \equiv 1\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv 0\left( {\bmod 8} \right) \\
\end{array} \right.\]
Hay: $\left[ \begin{array}{l}
a \equiv 0\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv 1\left( {\bmod 8} \right) \\
a \equiv 4\left( {\bmod 8} \right) \\
\end{array} \right.$
Do đó, ta có ngay bổ đề cần cm.
--------------
Theo bổ đề ta suy ra ${5^p} + {3^p} + {12^p} + {16^p} + 5$ không là số chính phương với p nguyên tố, p > 2
Do vậy, chỉ có nhiều nhất một giá trị p nguyên tố thỏa (p=2), ta suy ra đpcm .
-------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 15-05-2012 - 23:40

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#26
Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: $5^{p}+12^{p}$ là số chính phương.

Thời gian làm bài tính từ 19h23.


Lần nào cũng bắt tội anh Hân đi chu du 3 bài ! Tội anh Ban Giám Khảo ghê gớm ! >:)
Bổ sung ở MR 4 của em
Trong TH đó , p chẵn
p/s : mở rộng 4 dự định ko sử dụng đ/li fec ma rằng $x^n + y^n = z^n$ ko có nghiệm nguyên dương lớn hơn 2
Vì thế
KHi ta đã đi đến kết luận $p = 2$
Thì khi đó
PT trở thành
$5^p + 12^p = 13^p$

Với $p = 1$ , PT VN
Với $p = 2$ , là nghiệm của PT
Với $p > 2$
Khi đó $5^p = 13^p - 12^p = 13^{p - 1} + 13^{p -2}.12 + ... + 12^{p - 1}$
Dễ thấy với $p > 2$ thì VP > VT
Như vậy PT vô nghiệm vs $p > 2$

Thành ra ta đã cưa đc cái bài
$5^p + 12^p = k^p$ (p là số tự nhiên chẵn)
>:)

Mở rộng 5 : mẹ ôi ! :wub: yêu fecma thế chứ lại !
Cho các số nguyên tố a , b lẻ
Và các số nguyên dương $p = 2k > b > a$

Giải PT nghiệm nguyên
$a^p + b^p = k^p $

(0 ; 0 ; 0) là nghiệm của PT
Hoặc (0; z;z) ; (z ; 0 ; z)với z là số nguyên bất kì !
Xét nghiệm khác 0
hêhê

Chuyên vế ; khai triển ra ta đc

$a^p = (k - b)(k + b)(k^{p - 2} + b^2.k^{p - 4} + ... + b^{p -2})$

Khi đó bắt buộc cả
$k- b = a^r$

$k + b = a^s $

Trong đó $s = r + i$
Lúc này
$2b = a^r(a^s + 1)$

Lúc đó do a là số nguyên tố , a , b là số nguyên tố
Nên $a^r = 1$ hoặc bằng 2
$a^r = 2$
$k - b = 2$ (loại mất oyf)

$a^r = 1$ thì $k - b = 1$

Lúc đó PT
$a^p + b^p = k^p $ sẽ tương đương với

$a^p + b^p = ( b + 1)^p$

Hay $a^p = (b + 1)^p - b^p = p.b^{p -1} + Q(x)$

Dễ thấy do $p > b > a $
Nên $VP > VT$
Từ đó suy ra PT ko có nghiệm trong Th này

Vậy PT chỉ có 3 nghiệm như trên !

Mở rộng 6:
Từ ở rộng 5 , ta nghĩ tới 1 BĐT Số học

Cho các số nguyên tố a , b
với p là 1 số nguyên chẵn bất kì thõa mãn
$a^p + b^p = k^p$

Chứng minh rằng
$\frac{a^p + b^p}{(b + 1)^{p - 2})} \geq 4b$

Thực ra đây là 1 mở rộng sử dụng hệ quả của mở rộng 5
Rằng




TỪ MỞ RỘNG 5 CÓ


$a^r = 2$ thì $k - b = 2$ (loại vì a lẻ mà)

$a^r = 1$ thì $k - b = 1$

Sử dụng $k = b + 1$
Khi đó

$a^p + b^p = (b + 1)^p$

suy ra $\frac{a^p + b^p}{(b + 1)^{p - 2})} = (b +1)^2 \geq 4b $

Dấu "=" có xảy ra hay ko thì em đành :wacko:


hoặc 1 mở rộng khác !?????
$(a^p + b^p)(\frac{1}{(b + 1)^{p -1}} + \frac{1}{(a + 1)^{p -2}} \geq 4(a + b)$



nếu a , b là các số nguyên tố
ta giải theo pp 5
thì đều đc
a + 1 = k
b + 1 = k

Khi đó , PT thành $k^2 + k^2 = (k + 1)^2$
Ko kiếm ra nổi nghiệm nào khác ngoài 3 nghiệm đã nêu

P . I = A . 22


#27
agito0002

agito0002

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
neu $p=2$ ta co:$5^{p}+12^{p}=25+144=169$ la số chính phương (chon)
neu $p>2\Rightarrow p \le 3 \Rightarrow 5^{p}$chia 3 du 2
$\Rightarrow 5^{p}+12^{p}$chia 3 du 2 ko the la 1 số chính phương.
vay p=2

Lý luận không chặt.
D-B=15.1h
E=6
F=0
S=50.9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 19:44


#28
tson1997

tson1997

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
Ta đã biết bổ đề sau: 1 bình phương đúng khi chia 3 không cho ta số dư là 2.Chứng minh bổ đề:
Xét các dạng của số tự nhiên x: $x=3k+r$ với $r \in {1;2;0}$ thì $x^2 = 9k^2+6kr+r^2$ nên nó đồng dư với $r^2$
Mà r nằm trong tập {1;2;0} nên $r^2 \in {1;4;0}$ hay tóm lại $r^2 $ chia 3 không dư 2 $\Rightarrow$ bổ đề đúng
Ta có:
p=2 thì ta có $5^2 +12^2 = 169 = 13^2$ (thỏa mãn)
p > 2 mà p nguyên tố $\Rightarrow$ p lẻ $\Rightarrow 5^p-2 \vdots 3$
Nhưng $12^p \vdots 3$ với mọi p.
$\Rightarrow 5^p+2^p$ chia 3 dư 2 $\Rightarrow$ không là 1 số chính phương

D-B=16.6h
E=10
F=0
S=61.4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 19:45

Thi cử............

#29
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Xét $p=2$ Thì $5^2+12^2=225=15^2$ (Thỏa mãn đề bài) X
Nếu p khác 2 mà p là số nguyên tố $\Rightarrow$ p lẻ. Đặt $p=2k+1$
Ta có $5^p+12^p=5.25^k+12^{2k+1}$
Mà 25 chia 3 dư 1 nên $25^k$ chia 3 dư 1 và 5 chia 3 sư 2=>$5.25^k$ chia 3 dư 2 ,$12^{2k+1}$ chia hết ch0 3
$\Rightarrow 5.25^k+12^{2k+1}$ chia 3 dư 2 mà không có số chính phương nào chia 3 dư 2
$\Rightarrow$ Loại
Vậy p=2

Tính toán sai ở chỗ X. Chưa chứng minh số chính phương không chia 3 dư 2.
D-B=17.2h
E=8
F=0
S=54.8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 19:50

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#30
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
Ngoài ra chũng ta cũng có thể có vài hướng mở rộng khác như sau:
MR 2: Thay $5^p$ bằng một số bất kì nào đó chia hết cho 5, ví dụ $(p-2)(p-1)p(p+1)(p+2)=p^5-5p^3+4p$ hay $10^p;15^p;…$ và giữ nguyên $5^p$
MR 3: Thay $12^p$ bằng một số nào đó chia $5$ dư $2,3$ như $p^5-5p^3+4p+2;17^p;…$
Việc tìm giá trị thì cũng xét $p=2$ rồi xét modun 5
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#31
danganhaaaa

danganhaaaa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
cho em giải cách khác nhé:
mở rộng của danganhaaaa:
ta xét 2 trường hợp:
#xét p là số chẵn
do 2 là số nguyên tố duy nhất chia chết cho 2 nên p=2
ta được $5^{p}+12^{p}$=$5^{2}+12^{2}$=169=$13^{2}$(thỏa mãn diều kiện đề bài)
#xét p là số lẻ.đặt p=2k+1
ta có $5^{p}$=$5^{2k+1}$
=$5.25^{k}$
do 25 chia 3 dư 1,5 chia 3 dư 2 nên $25^{k}$ chia 3 dư 1
suy ra $5.25^{k}$chia 3 dư 2
lại có 12 chia hêt cho 3 nên $12^{p}$ chia hết cho 3
vậy $5^{p}+12^{p}$ chia 3 dư 2
lại có số chính phương chia 3 dư 1 hoăc chia hết cho 3 nên $5^{p}+12^{p}$ không là số chính phương với p là số lẻ.
vậy với p=2 thì tm yêu cầu đề bài.
bài làm trước của em đánh latex sai thì bỏ quá cho em nhé các pác mod nhé :icon6: :icon6: :icon6: .
ĐĂNG ANH VÍP BRỒ 97

#32
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Bổ đề: Số chính phương khi chia cho 3 thì có số dư là 0 hoặc 1
Chứng minh bổ đề:
Xét số chính phương $n^2$ ($n \in N$)
Ta thấy: -Nếu $n=3k$ ($k \in N$) thì $n^2=9k^2$ chia hết cho 3
-Nếu $n=3k+1$ ($k \in N$) thì $n^2=3(3k^2+2k)+1$ chia cho 3 dư 1
-Nếu $n=3k+2$ ($k \in N$) thì $n^2=3(3k^2+4k+1)+1$ chia cho 3 dư 1
Vậy bổ đề được chứng minh
____________________________________________
Cách giải khác cho bài toán gốc:
Ta có:
Vì $p$ là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp:
+Nếu $p=2$ thì $5^p+12^p=169=13^2$ là số chính phương nên $p=2$ thỏa mãn đề bài
+Nếu $p>2$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p$ là số nguyên dương lẻ và $p \geq 3$
Đặt $p=2k+1$ ($k$ là số nguyên dương)
Khi đó ta thấy:
$5^{p}-2=5^{2k+1}-2=25^k.5-2=5(25^k-1)+3$
$=5.24(25^{k-1}+25^{k-2}+...+1)+3$ chia hết cho 3
Suy ra $5^{p}$ chia 3 dư 2
Mà $12^{p}$ chia hết cho 3 với $p$ nguyên dương
Suy ra $5^p+12^p$ chia cho 3 có số dư là 2
Theo bổ đề thì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1
Suy ra $5^p+12^p$ không là số chính phương.

Tóm lại: $p=2$ thỏa mãn đề bài

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#33
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Mở rộng đây:

Ta vẫn giữ nguyên yêu cầu của đề bài là: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: $"X"$ là số chính phương.

Ta chỉ thay đổi biểu thức $"X"$ để có mở rộng hợp lý
_______________________________________________________
Quy ước: $m,n$ là các hằng số nguyên
Mở rộng 1: $X=(10n+5)^p+(10m+2)^p$
MR2: $X=(10n+1)^p+(10m+6)^p$
MR3: $X=(10n+3)^p+(10m+5)^p$
MR4: $X=(10n+4)^p+(10m+9)^p$
MR5: $X=(10n+5)^p+(10m+7)^p$
MR6: $X=(10n+5)^p+(10m+8)^p$
Mở rộng 7: $X=(3n+2)^p+(3m)^p$
Mở rộng 8: $X=(3m+1)^p+(3n+1)^p$
Mở rộng 9: $X=m^p+n^p$ với $m,n$ nguyên thỏa mãn $m+n$ chia cho 3 dư 2
Mở rộng 10: $X=m_1^p+m_2^p+...+m_n^p$ với $m_1,m_2,...m_n$ nguyên và thỏa mãn $a_1+m_2+...+m_n$ chia cho 3 dư 2

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#34
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Chứng minh mở rộng:
a) Mở rộng 1,2,3,4,5,:
______________________________________________________
Bổ đề:
Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$
Chứng minh bổ đề:
Xét số chính phương đó là $m^2$
Nếu $m=10n$ thì $m^2$ có tận cùng là 0
Nếu $m=10n+1$ thì $m^2=10(10n^2+2n)+1$ có chữ số tận cùng là 1
Nếu $m=10n+2$ thì $m^2=10(10n^2+4n)+4$ có chữ số tận cùng là 4
Nếu $m=10n+3$ thì $m^2=10(10n^2+6n)+9$ có chữ số tận cùng là 9
Nếu $m=10n+4$ thì $m^2=10(10n^2+8n+1)+6$ có chữ số tận cùng là 6
Nếu $m=10n+5$ thì $m^2=10(10n^2+10n+2)+5$ có chữ số tận cùng là 5
Nếu $m=10n+6$ thì $m^2=10(10n^2+12n+3)+6$ có chữ số tận cùng là 6
Nếu $m=10n+7$ thì $m^2=10(10n^2+14n+4)+9$ có chữ số tận cùng là 9
Nếu $m=10n+8$ thì $m^2=10(10n^2+16n+6)+4$ có chữ số tận cùng là 4
Nếu $m=10n+9$ thì $m^2=10(10n^2+18n+8)+1$ có chữ số tận cùng là 1
Tóm lại Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$
_______________________________________________
Vì $p$ là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp:
+Nếu $p=2$ thì ta thay vào và kiểm tra xem số đó có phải là số chính phương không?
+Nếu $p>2$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p$ là số nguyên dương lẻ và $p \geq 3$
Ta xét thấy rằng: với $p$ là số nguyên dương lẻ thì:
$1^p$ có chữ số tận cùng là 1
$2^p$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 8
$3^p$ có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7
$4^p$ có chữ số tận cùng là 4
$5^p$ có chữ số tận cùng là 5
$6^p$ có chữ số tận cùng là 6
$7^p$ có chữ số tận cùng là 7 hoặc 3
$8^p$ có chữ số tận cùng là 8 hoặc 2
$9^p$ có chữ số tận cùng là 9
Từ đó suy ra được:
MR1: $X=(10n+5)^p+(10m+2)^p$ có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7
MR2: $X=(10n+1)^p+(10m+6)^p$ có chữ số tận cùng là 7
MR3: $X=(10n+3)^p+(10m+5)^p$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 8
MR4: $X=(10n+4)^p+(10m+9)^p$ có chữ số tận cùng là 3
MR5: $X=(10n+5)^p+(10m+7)^p$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 8
MR6: $X=(10n+5)^p+(10m+8)^p$ có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7
Ta lại thấy Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$ ( theo bổ đề)
Suy ra mâu thuẫn hay ta sẽ tìm được $p$

b) Chứng minh mở rộng 7,8,9,10:
Trước hết ta chứng minh nhận xét sau:
$a^{2k+1}-a$ chia hết cho 3 với $a,k$ nguyên dương.
Thật vậy:
Nếu $a$ chia hết cho 3 thì $a^{2k+1}-a$ chia hết cho 3
Nếu $a$ không chia hết cho 3 thì $a^{k-1} \neq 0$ cũng không chia hết cho 3
Khi đó:
$a^{2k+1}-a$ chia hết cho 3
Khi và chỉ khi $a^{k-1}(a^{2k+1}-a)$ chia hết cho 3 ( vì $a^{k-1} \neq 0$)
Khi và chỉ khi $a^k(a^2k-1)$ chia hết cho 3
Khi và chỉ khi $(a^k-1)a^k(a^k+1)$ chia hết cho 3
Ta thấy $(a^k-1),a^k,(a^k+1)$ là 3 số nguyên liên tiếp nên $(a^k-1)a^k(a^k+1)$ chia hết cho 3
Vậy $a^{2k+1}-a$ chia hết cho 3
________________________________________________
Bổ đề: Số chính phương khi chia cho 3 thì có số dư là 0 hoặc 1
Chứng minh bổ đề:
Xét số chính phương $n^2$ ($n \in N$)
Ta thấy: -Nếu $n=3k$ ($k \in N$) thì $n^2=9k^2$ chia hết cho 3
-Nếu $n=3k+1$ ($k \in N$) thì $n^2=3(3k^2+2k)+1$ chia cho 3 dư 1
-Nếu $n=3k+2$ ($k \in N$) thì $n^2=3(3k^2+4k+1)+1$ chia cho 3 dư 1
Vậy bổ đề được chứng minh
________________________________________________
Trở lại với mở rộng 7,8,9,10:
Ta có:
Vì $p$ là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp:
+Nếu $p=2$ thì ta thay vào và kiểm tra xem số đó có phải là số chính phương không?
+Nếu $p>2$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p$ là số nguyên dương lẻ và $p \geq 3$
MR7: $X=(3n+2)^p+(3m)^p=(3n+2)^p-(3n+2)+(3m)^p+3n+2$ chia cho 3 dư 2
Suy ra $X$ chia cho 3 dư 2

MR8: $X=(3n+1)^p+(3m+1)^p=(3n+1)^p-(3n+1)+(3m+1)^p-(3m+1)+3(n+m)+2$ chia cho 3 dư 2
Suy ra $X$ chia cho 3 dư 2
MR9: $X=m^p+n^p=m^p-m+n^p-n+(m+n)$ chia cho 3 dư 2 (vì $m+n$ chia cho 3 dư 2)
Suy ra $X$ chia cho 3 dư 2
MR10: $X=m_1^p+m_2^p+...+m_n^p=(m_1^p-m_1)+(m_2^p-m_2)+...+(m_n^p-m_n)+(m_1+m_2+...+m_n)$ chhia cho 3 dư 2 ( do $m_1+m_2+...+m_n$ chia 3 dư 2)

Ta lại có: Số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 (theo bổ đề) nên ta thấy mâu thuẫn

Vậy ta sẽ tìm được $p$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#35
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Xin góp vui bằng một mở rộng sau:

Tìm các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện
$$5^a+12^a+(a+1)^3=b^2$$

#36
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Cách giải khác cho bài toán gốc:
________________________________________________________
Bổ đề:
Số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4
Chứng minh bổ đề:
Xét số chính phương $n^2$ ($n \in N$)
+Nếu $n=4k$ thì $n^2=(4k)^2=16k^2$ chia 8 dư 0
+Nếu $n=4k+1$ thì $n^2=(4k+1)^2=16k^2+8k+1$ chia 8 dư 1
+Nếu $n=4k+2$ thì $n^2=(4k+2)^2=16k^2+16k+4$ chia 8 dư 4
+Nếu $n=4k+3$ thì $n^2=(4k+3)^2=16k^2+24k+9$ chia 8 dư 1
Suy ra Số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4
________________________________________________________
Trở lại với bài toán:
Ta có:
Vì $p$ là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp:
+Nếu $p=2$ thì $5^p+12^p=169=13^2$ là số chính phương nên $p=2$ thỏa mãn đề bài
+Nếu $p>2$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p$ là số nguyên dương lẻ và $p \geq 3$
Đặt $p=2k+1$ ($k$ là số nguyên dương)
Vậy $12^p=12^{2k+1}=144^k.12$ chia hết cho 8 (vì $k>0$)
Lại thấy:
$5^p-5=5^{2k+1}-5=5(5^{2k}-1)=5.24.(24^{k-1}+24^{k-2}+...+1)$ chia hết cho 8
Suy ra $5^p$ chia cho 8 dư 5
Lại thấy số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4 (theo bổ đề)
Suy ra chỉ có $p=2$ thỏa mãn đề bài

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#37
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Mở rộng đây:

Ta vẫn giữ nguyên yêu cầu của đề bài là: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: $"X"$ là số chính phương.

Ta chỉ thay đổi biểu thức $"X"$ để có mở rộng hợp lý
_______________________________________________________
Quy ước: $m,n$ là các hằng số nguyên
Mở rộng 11: $X=(8m+5)^p+(4n)^p$
MR12: $X=(4m+3)^p+(4n)^p$
MR13: $X=(4m+1)^p+(4n+1)^p$
MR14: $X=(4m+3)^p+(4n+3)^p$
MR15: $X=m_1^p+m_2^p+...+m_n^p$ với $m_1,m_2,m_3,...,m_n$ là các số nguyên có dạng $4k+1$ hoặc $4k+3$ và thỏa mãn tổng $m_1+m_2+m_3+...+m_n$ chia cho 8 dư 2 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 6 hoặc 7

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#38
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Lời giải của mở rộng 11,12,13,14,15:
__________________________________________
Ta có bổ đề:
Với $x$ là số nguyên có dạng $4k+1$ hoặc $4k+3$ thì $x^{2y+1}-x$ chia hết cho 8 với mọi $y$ nguyên dương.
Chứng minh bổ đề:
Vì $x$ là số nguyên có dạng $4k+1$ hoặc $4k+3$
Suy ra $x^2-1$ chia hết cho 8
Xét $x^{2y+1}-x=x(x^{2y}-1}=x((x^2)^y-1)=x(x^2-1)((x^2)^{y-1}+(x^2)^{y-2}+...+1)$ chia hết cho 8
Vậy bổ đề được chứng minh.
________________________________________________________
________________________________________________________
Bổ đề:
Số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4
Chứng minh bổ đề:
Xét số chính phương $n^2$ ($n \in N$)
+Nếu $n=4k$ thì $n^2=(4k)^2=16k^2$ chia 8 dư 0
+Nếu $n=4k+1$ thì $n^2=(4k+1)^2=16k^2+8k+1$ chia 8 dư 1
+Nếu $n=4k+2$ thì $n^2=(4k+2)^2=16k^2+16k+4$ chia 8 dư 4
+Nếu $n=4k+3$ thì $n^2=(4k+3)^2=16k^2+24k+9$ chia 8 dư 1
Suy ra Số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4
________________________________________________________
Trở lại với mở rộng:
Ta có:
Vì $p$ là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp:
+Nếu $p=2$ thì thay vào biểu thức ta tính được X, xem $X$ có là số chính phương không ?
+Nếu $p>2$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p$ là số nguyên dương lẻ và $p \geq 3$
Ta thấy:
MR11: $X=(8m+5)^p+(4n)^p=(8m+5)^p-(8m+5)+(4n)^p+8m+5$ chia cho 8 dư 5
MR12: $X=(4m+3)^p+(4n)^p=(4m+3)^p-(4m+3)+(4n)^p+4m+3$ chia cho 8 dư 3 hoặc 7
MR13: $X=(4m+1)^p+(4n+1)^p=(4m+1)^p-(4m+1)+(4n+1)^p-(4n+1)+4(m+n)+2$ chia cho 8 dư 2 hoặc 6
MR14: $X=(4m+3)^p+(4n+1)^p=(4m+3)^p-(4m+3)+(4n+3)^p-(4n+3)+4(m+n)+6$ chia cho 8 dư 2 hoặc 4
MR15: $X=m_1^p+m_2^p+...+m_n^p=m_1^p-m_1+m_2^p-m_2+...+m_n^p-m_n+(m_1+m_2+...+m_n)$ chia cho 8 dư 2 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 6 hoặc 7
Ta lại thấy số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4 (theo bổ đề)
Suy ra điều vô lý

Vậy ta sẽ tìm được $p$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#39
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Mở rộng to hơn:
Mở rộng 16: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: $5^{p}+12^{p}$ là lập phương của một số nguyên dương.
_____________________________________________________________________
Cách chứng minh mở rộng này hơi rắc rối, hiện chưa có cách hay hơn để làm, mạn phép dùng cách này:
Ta có:
Vì $p$ là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp:
+Nếu $p=2$ thì $5^p+12^p=169$ không là lập phương của một số nguyên dương nên $p=2$ không thỏa mãn đề bài
+Nếu $p>2$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p$ là số nguyên dương lẻ và $p \geq 3$

Ta thấy một điều thú vị:
$5^p$ luôn có 2 chữ số là 25 với $p$ lẻ
và $12^p$ có 2 chữ số tận cùng là $12,28,32,08,52,88,72,68,92,48.$
Suy ra $5^p+12^p$ có 2 chữ số tận cùng là $37,53,57,33,77,13,97,93,17,73.$
Lại thấy lập phương của một số nguyên dương thì có hai chữ số tận cùng là $00,01,08,27,64,25,16,43,12,29$
Suy ra vô lý hay không tồn tại $p$ thỏa mãn đề bài

_______________________________________________
Nếu có cơ hội, xin mọi người cùng thảo luận về: $5^{p}+12^{p}$ là lập phương của một số nguyên dương.

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#40
Mai Duc Khai

Mai Duc Khai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 617 Bài viết
Ta có bài toán: Tìm tất cả $x,y$ nguyên thỏa mãn $7^x+24^x=y^2$

Lời giải
Nếu $x=0$ thì loại vì $VT=2=y^2$ vô lý
Do đó $x\geq 1$
Nhận xét $24^x \equiv 0 \pmod{4}$ mà $y^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$ kết hợp với $7^x \equiv 1,3 \pmod{4}$
Từ các nhận xét trên suy ra trực tiếp $x=2k$ (chẵn)
Viết lại đề: $$7^x+24^x=y^2 \leftrightarrow 7^{2k}+24^{2k}=y^2 \leftrightarrow 7^{2k}=(y-24^k)(y+24^k)$$
Do $7$ nguyên tố nên $$\left\{\begin{array}{1}y-24^k=7^a \\y+24^k=7^b \\a+b=2k \end{array}\right.$$
Khi vậy lấy $y+24^k-(y-24^k)=7^b-7^a \rightarrow 2.24^k=7^a(7^{b-a}-1)$
Nhận xét $2.24^k$ không chia hểt cho $7$ nên $7^a=1 \leftrightarrow a=0$ khi đó $2.24^k=7^{b-1}-1=7^{2k-2}-1$ (do $a+b=1+b=2k$)
Suy ra $2.(2^3)^k.3^k=(7^{k-1}-1)(7^{k-1}+1)$
Lại có tiếp $(7^{k-1}+1)-(7^{k-1}-1)=2$ đồng thời tích hai số trên là số chẵn nên cả hai số đều chẵn mà hiệu là $2$ nên một số chỉ chia hết cho 2 (tức là chỉ chia hết cho 2 mà không phải 4)
TH1: $7^{k-1}-1=2.p$ (p lẻ ) khi vậy $7^{k-1}+1=(2^3)^k.q$ (q lẻ) như thế $2^{3k-1}q-p=1$ như vậy $gcd(p,q)=1$ do đó có một số bằng luôn $3^k$ còn số còn lại là $1$
Nhưng để đảm bảo $2^{3k-1}q-p=1 \rightarrow q=1,p=3^k \rightarrow 2^{3k-1}-3^k=1$
Thử một vài trường hợp có $k=1$ thỏa đề còn nếu $k>1$ thì $2^{3k-1}$ lớn hơn $3^k$ rất nhiều lần (chứng minh dễ bằng quy nạp)
TH2: $7^{k-1}-1=(2^3)^k.m$ (m lẻ) và $7^{k-1}+1=2.n$ (n lẻ) tương tự như trên có được $n-2^{3k-1}m=1 $ $\rightarrow n=3^k,m=1 \rightarrow 3^k-2^{3k-1}=1$
Đến đây ta có thể chứng minh quy nạp rằng $2^{3k-1}>3^k$ khi đó $3^k-2^{3k-1}$ âm do đó mâu thuẫn vì nó bằng 1
Tóm lại ta chỉ có $k=1$ thỏa đề hay $x=2k=2$
Vậy $\boxed{(x,y)=(2,25)}$

Ta chỉ việc thay 7 và 24 thành 5 và 12 thì bài toán trên "liên quan" :D tới đề bài mà chúng ta đang làm
P/s: Nguồn bài trên từ.........ko biết có ai trùng bài mình ko :D

Tra cứu công thức toán trên diễn đàn


Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF


Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ

______________________________________________________________________________________________

‎- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm

- Đời chuyển ... Em xoay

Đời cay ... Em đắng





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh