Chủ đề này có 3 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Tìm $m$ để bất phương trình $m{2^{x + 1}}+\left({2m+1}\right){\left({3- \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} < 0$ có nghiệm $x>-1$.

Trích Đề thi thử ĐH 2012 lần VII - Chuyên Thái Nguyên

[Crystal]

Có thể đưa ra một bài toán tương tự.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ sao cho Bpt sau nghiệm đúng với mọi $x \leq 0$:
$a. 2^{x+1} +(2a+1). (3-\sqrt{5} )^{x} + (3+ \sqrt{5})^{x} <0$

Chia hai vế của phương trình cho ${2^x} \ne 0$, ta được:
$$2a + \left( {2a + 1} \right){\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Ta có: ${\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 1$. Đặt $t = {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{t}$

Vì $0 < \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} < 1$ nên hàm ${\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x}$ nghịch biến. Do đó $\forall x \leqslant 0 \Rightarrow t \geqslant 1$

Khi đó bất phương trình $(1)$ trở thành: $$2a + \left( {2a + 1} \right)t + \dfrac{1}{t} = 0 \Leftrightarrow \left( {2a + 1} \right){t^2} + 2at + 1 < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$

Ta tìm $a$ đê bất phương trình $(2)$ nghiệm đúng với mọi $t \geqslant 1$.

* Với $a = - \dfrac{1}{2}$ thì $(2) \Leftrightarrow - t + 1 < 0 \Leftrightarrow t > 1$

* Với $a \ne - \dfrac{1}{2}$ thì $(2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a + 1 < 0\\
\Delta ' = {a^2} - 2a - 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < - \dfrac{1}{2}\\
1 - \sqrt 2 < a < 1 + \sqrt 2
\end{array} \right.\,\,\,\,\,(vn)$

Vậy $\boxed{a = - \dfrac{1}{2}}$ là giá trị cần tìm.

[hung0503]

Em xin được làm tiếp, nhưng không biết có sai sót chỗ nào không
bpt trở thành: $2a(t^2+t)+t^2+1<0$
với $t<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
Xét $f(t)=\frac{-(t^2+1)}{2t^2+2t}$ với $t<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
Vẽ bảng biến thiên
Nhận thấy t=-1,0 không thỏa
Th1: $-1<t<0$
bpt trở thành:$ a>\frac{-(t^2+1)}{2t^2+2t}$
Dựa vào bbt ta được $a>1+\sqrt{2}$
Th2: $t<-1 \vee t>0$
bpt trở thành $a<\frac{-(t^2+1)}{2t^2+2t}$
Dựa vào bbt ta được $a<1-\sqrt{2}$
Kết hợp 2 trường hợp ta đc $a>1+\sqrt{2} \vee a<1-\sqrt{2}$

Ở đây có 2 ý cần trao đổi là:
-Bảng biến thiên ko post lên đc nên mọi người thông cảm
-Nếu bpt là $(2a+1)t^2+2a^2t+1<0$ thì không đưa về theo a được, lúc đó phải làm sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung0503: 15-05-2012 - 01:44

[Crystal]

...
Dựa vào bbt ta được $a<1-\sqrt{2}$
Kết hợp 2 trường hợp ta đc $a>1+\sqrt{2} \vee a<1-\sqrt{2}$

1. Em xem lại kết hợp nhé. Nhìn vào đáp án thì bài này sai.

2. Cách trình bày thì tương đối.

---