Chủ đề này có 3 trả lời

[ngoc980]

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= \frac{1}{z}$
Hỏi x+y có thể là số chính phương được không? Vì sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoc980: 14-05-2012 - 17:47

[mituot03]

$\Rightarrow$ $x+y = \frac{xy}{z}$
$\Rightarrow TH1 x\vdots z$
$\Rightarrow x=zk$ (k$\in$ N*)
$\Rightarrow x+y = ky = k^{2}t^{2}$ ( y=kt$^{2}$)
=> xy= $zk^{2}t^{2}$
=> x và y là nghiệm của pt :$X^{2} - t^{2}k^{2}X+ zt^{2}k^{2}= 0$ (1)
Thế x = zk vào (1) => vl
Vậy x+y không phải là số cp
* Nếu x, y, z là các số nguyên tố cung nhau thì $\frac{xy}{z}$ không là số nguyên => x+y không phải số cp

[nguyenta98]

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= \frac{1}{z}$
Hỏi x+y có thể là số chính phương được không? Vì sao?

Giải như sau:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$$
$$\leftrightarrow (x+y)z=xy$$
Đặt $gcd(x,y)=d \rightarrow x=dm,y=dn, gcd(m,n)=1$
Thế vào $PT$ suy ra
$$(dm+dn)z=dm.dn \leftrightarrow (m+n)z=dmn$$
Vì $gcd(m,n)=1 \rightarrow gcd(m+n,m)=gcd(m+n,n)=1$
Do đó $gcd(m+n,mn)=1$ suy ra $mn|z$
Ta chọn $z=mn \rightarrow m+n=d$
Khi đó $x+y=dm+dn=d(m+n)=d^2$ là số chính phương
Do đó $x+y$ có thể là số chính phương
Một ví dụ minh họa: $x=7.3,y=7.4, z=12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-05-2012 - 19:41

[ngoc980]

Giải như sau:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$$
$$\leftrightarrow (x+y)z=xy$$
Đặt $gcd(x,y)=d \rightarrow x=dm,y=dn, gcd(m,n)=1$
Thế vào $PT$ suy ra
$$(dm+dn)z=dm.dn \leftrightarrow (m+n)z=dmn$$
Vì $gcd(m,n)=1 \rightarrow gcd(m+n,m)=gcd(m+n,n)=1$
Do đó $gcd(m+n,mn)=1$ suy ra $mn|z$
Ta chọn $z=mn \rightarrow m+n=d$
Khi đó $x+y=dm+dn=d(m+n)=d^2$ là số chính phương
Do đó $x+y$ có thể là số chính phương
Một ví dụ minh họa: $x=7.3,y=7.4, z=12$

Hoặc làm như sau nè:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow z(x+y)=xy$
$\Leftrightarrow (x-z)(y-z)= z^{2}$
ta sẽ chứng minh được $(x-z,y-z)=1$
$\Rightarrow x-z=k^{2},y -z=t^{2}$
$\Leftrightarrow (kt)^{2}=z^{2}\Leftrightarrow kt=z$
Lại có: $x+y=(x-z)+(y-z)+2z=k^{2}+t^{2}+2kt=(k+t)^{2}$
Vậy x+y là số chính phương