Hỏi x+y có thể là số chính phương được không? Vì sao?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoc980: 14-05-2012 - 17:47
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoc980: 14-05-2012 - 17:47
Đừng chờ đợi những gì bạn muốn mà hãy đi tìm kiếm chúng.
Giải như sau:Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= \frac{1}{z}$
Hỏi x+y có thể là số chính phương được không? Vì sao?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-05-2012 - 19:41
Hoặc làm như sau nè:Giải như sau:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$$
$$\leftrightarrow (x+y)z=xy$$
Đặt $gcd(x,y)=d \rightarrow x=dm,y=dn, gcd(m,n)=1$
Thế vào $PT$ suy ra
$$(dm+dn)z=dm.dn \leftrightarrow (m+n)z=dmn$$
Vì $gcd(m,n)=1 \rightarrow gcd(m+n,m)=gcd(m+n,n)=1$
Do đó $gcd(m+n,mn)=1$ suy ra $mn|z$
Ta chọn $z=mn \rightarrow m+n=d$
Khi đó $x+y=dm+dn=d(m+n)=d^2$ là số chính phương
Do đó $x+y$ có thể là số chính phương
Một ví dụ minh họa: $x=7.3,y=7.4, z=12$
Đừng chờ đợi những gì bạn muốn mà hãy đi tìm kiếm chúng.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh