Chủ đề này có 5 trả lời

[CD13]

Cho $Q$ là tập hợp các số hữu tỉ và $a,b \in Q$ ta định nghĩa phép toán $a*b=a+b+2ab$. Hỏi $(Q,*)$ có phải là nhóm không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 14-05-2012 - 18:35

[funcalys]

Cho $Q$ là tập hợp các số hữu tỉ và $a,b \in Q$ ta định nghĩa phép toán $a*b=a+b+2ab$. Hỏi $(Q,*)$ có phải là nhóm không?

Ta chứng minh được * đóng trong $\mathbb{Q}$
Kiểm tra 3 tính chất của nhóm:
1) * kết hợp, ta có $(a*b)*c=(a+b+2ab)*c=a+b+c+2(bc+ab+ac+abc)=a*(b*c)$
2) Phần tử đơn vị$ e= 0$: $\forall a \in \mathbb{Q}$, $a*0=0*a=a$
3) Phần tử nghịch đảo $a^{-1} =\frac{-a}{1+2a} $
,$\forall a \in \mathbb{Q}, a*\left ( \frac{-a}{1+2a} \right )=\left ( \frac{-a}{1+2a} \right )*a=e=0$
Vậy $\left ( \mathbb{Q},* \right )$ là một nhóm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 14-05-2012 - 19:30

[T*genie*]

Cho $Q$ là tập hợp các số hữu tỉ và $a,b \in Q$ ta định nghĩa phép toán $a*b=a+b+2ab$. Hỏi $(Q,*)$ có phải là nhóm không?

Không vì nó không thỏa mãn tiên đề về phần tử đối lập. Tập $\mathbb{Q}$ nếu loại đi phần tử $-\frac{1}{2}$ với phép toán $*$ định nghĩa như trên thì là một nhóm.

[T*genie*]

3) Phần tử nghịch đảo $a^{-1} =\frac{-a}{1+2a} $
,$\forall a \in \mathbb{Q}, a*\left ( \frac{-a}{1+2a} \right )=\left ( \frac{-a}{1+2a} \right )*a=e=0$
Vậy $\left ( \mathbb{Q},* \right )$ là một nhóm

Hehe cái này chỉ khi $a \neq -\frac{1}{2}$ .

[funcalys]

Hehe cái này chỉ khi $a \neq -\frac{1}{2}$ .

Chết thật, em quên mất cái đk , hôm nay lẩm cẩm quá

[CD13]

Kết luận:
$(Q,*)$ không là nhóm.
$(Q$\{$-\frac{1}{2}$}$,*)$ là nhóm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 14-05-2012 - 21:10