Chủ đề này có 8 trả lời

[tiachopkientruc]

Cho a, b là 2 số thực thỏa điều kiện $a^2+b^2=1$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
$A=a^6 +b^6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 16-05-2012 - 17:45
Lỗi hiển thị $\LaTeX$

[vietfrog]

cho a,b là 2 số thực thỏa điều kiện a²+ b² = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = a^6 +b^6

Không biết em đã học BĐT Holder chưa.
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\[\left( {{a^6} + {b^6}} \right)\left( {{1^6} + {1^6}} \right)\left( {{1^6} + {1^6}} \right) \ge {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^3} \Leftrightarrow {a^6} + {b^6} \ge \frac{1}{4}\]
P/s: Cách khác: Ta có thể đặt ẩn phụ ${a^2} = \frac{1}{2} - t;{b^2} = \frac{1}{2} + t$

[Crystal]

Cho a, b là 2 số thực thỏa điều kiện $a^2+b^2=1$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
$A=a^6 +b^6$

Cách THPT các em nên tham khảo.

Đặt $a = \sin \alpha ,\,\,b = \cos \alpha ,\,\,\alpha \in \left( {0;\pi } \right)$

Khi đó: \[A = {\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha = \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right)\]
\[ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \]
\[ = 1 - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \]
Mặt khác: $0 \leqslant {\sin ^2}2\alpha \leqslant 1$. Do đó: $1 - \frac{3}{4} \leqslant A \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leqslant A \leqslant 1$

Từ đó kết luận...

[Tru09]

Cách khác :
ta có :$a^2 +b^2 =1 \rightarrow 1 ≥ 2|ab| \rightarrow \frac {1}{4} ≥ (ab)^2 \rightarrow \frac{3}{4} ≥ 3(ab)^2$(1)
Dấu "=" sảy ra$ \leftrightarrow a=b=\frac {1}{\sqrt{2}}$
$(a^2 +b^2)^3 =1$
$\rightarrow a^6 +b^6 + 3(ab)^2 =1$
Kết hợp với (1)$ \rightarrow a^6 +b^6 ≥ \frac {1}{4}$
Dấu "=" sảy ra$ \leftrightarrow a=b=\frac {1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 16-05-2012 - 18:27

[Mai Duc Khai]

Sai nghiêm trọng
Đề bài không cho a,b không âm

Có cần thiết phải có a,b không âm ở đây ko bạn?? Bài bạn Tru09 làm đúng rồi mà

[Crystal]

Vừa mới phát hiện ra môt cách khá là "ngu". Đưa lên đây mọi người cho ý kiến.

Giờ không có thời gian gõ nên chỉ nêu ra hướng, các bạn thử giải rồi có gì mình gửi lên sau.

----

Đặt $b = at,\,\,t \ne 0$. Từ ${a^2} + {b^2}= 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = \frac{1}{{{t^2} + 1}}\\
0 < {t^2} \le 1
\end{array} \right.$

Thay vào ta được: \[A = {a^6} + {a^6}{t^6} = {a^6}\left( {1 + {t^6}} \right) = ...\]

Các bạn giải tiếp nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 16-05-2012 - 18:31

[tson1997]

Cho a, b là 2 số thực thỏa điều kiện $a^2+b^2=1$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
$A=a^6 +b^6$

Về tìm Min: Không biết đây có là cách khác không
Ta có bất đẳng thức sau (làm quen nên nhớ,cminh cũng dễ) : $(x+y)^3 \leq 4(x^3+y^3)$
Nên :
$A= a^6+b^6 \geq \frac{(a^2+b^2)^3}{4}=\frac{1}{4}$
Dấu = xảy ra khi ..................

P/s: Cái bất đẳng thức phụ của em đưa về dạng khác nhìn đẹp hơn:

$(\frac{x+y}{2})^3 \leq \frac{x^3+y^3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tson1997: 16-05-2012 - 19:26

[Crystal]

Cái này nó nằm ở đây nè: http://diendantoanho...showtopic=61634

---

Tổng quát cái của chú tson1997:

Cho $n \in \mathbb{N}$ và $x+y>0$. Chứng minh rằng \[{\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^n} \le \frac{{{x^n} + {y^n}}}{2}\]

[tim1nuathatlac]

tìm max như sau
từ giả thiết bài toán suy ra -1$\leq$a$\leq \leq$1
suy a$\leq \leq ^{_{6}}$$\leq \leq ^{_{6}}\leq \a$\leq \leq ^{_{6}}\leq \leqslant \leq ^{2}$
tương tự
suy max=1
khi(a,b)=(0;1);(0;-1) và hoán vị