Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
banhbaocua1

banhbaocua1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
Cho a,b,c>0 và a+b+c=6 CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geq 2$

#2
truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết

Cho a,b,c>0 và a+b+c=6 CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geq 2$

Ta có :
$\sqrt {{a^3} + 1} = \sqrt {(a + 1)({a^2} - a + 1)} \le \frac{{a + 1 + {a^2} - a + 1}}{2} = \frac{{{a^2} + 2}}{2}$
nên:
$A \ge \frac{{2a}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{2b}}{{{c^2} + 2}} + \frac{{2c}}{{{a^2} + 2}}$
$ = \frac{{a({b^2} + 2) - a{b^2}}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{b({c^2} + 2) - b{c^2}}}{{{c^2} + 2}} + \frac{{c({a^2} + 2) - c{a^2}}}{{{a^2} + 2}}$
$ = 6 - \frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 2}} - \frac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 2}} - \frac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 2}} \ge 6 - \frac{{a{b^2}}}{{3\sqrt[3]{{\frac{{{b^4}}}{2}}}}} - \frac{{b{c^2}}}{{3\sqrt[3]{{\frac{{{c^4}}}{2}}}}} - \frac{{c{a^2}}}{{3\sqrt[3]{{\frac{{{c^4}}}{2}}}}}$
$= 6 - \frac{1}{3}\left( {\sqrt[3]{{2{a^3}{b^2}}} + \sqrt[3]{{2{b^3}{c^2}}} + \sqrt[3]{{2{c^3}{a^2}}}} \right)$
$ = 6 - \frac{1}{3}\left( {\sqrt[3]{{2a.ab.ab}} + \sqrt[3]{{2b.bc.bc}} + \sqrt[3]{{2c.ca.ca}}} \right)$
$ \ge 6 - \frac{2}{9}\left( {a + b + c + ab + bc + ca} \right) \ge 6 - \frac{2}{9}\left( {6 + \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3}} \right) = 2$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh