Chủ đề này có 24 trả lời

[mysmallstar12]

Cho x,y,z$\geq$ 0 thõa mãn x+y+z>0.Tìm giá trị nhỏ nhất của:P=$\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mysmallstar12: 17-05-2012 - 20:50

[Crystal]

Cho x,y,z$\geq$ 0 thõa mãn x+y+z>0.Tìm giá trị nhỏ nhất của:P=$\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

Hướng dẫn:

Đưa về hàm một ẩn rồi dùng khảo sát hàm.

Bạn suy nghĩ xem!

----

[tson1997]

Cho x,y,z$\geq$ 0 thõa mãn x+y+z>0.Tìm giá trị nhỏ nhất của:P=$\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

Thử dùng holder xem sao nào:

$(x^3+y^3+16z^3)(8+8+2)(8+8+2) \geq 4(x+y+z)^3$
Hay
$P \geq \frac{1}{81}$ (thì phải)

[vietfrog]

Thử dùng holder xem sao nào:

$(x^3+y^3+16z^3)(8+8+2)(8+8+2) \geq 4(x+y+z)^3$
Hay
$P \geq \frac{1}{81}$ (thì phải)

Bài này sử dụng BĐT Holder thì đúng rồi.
Bài tìm Min thì phải chỉ rõ dấu =.
Ở đây dấu = xảy ra khi $x = y = \frac{{2z}}{{\sqrt[2]{2}}}$
Chứng minh BĐT Holder dạng:
\[\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right) \ge {\left( {axm + byn + czp} \right)^3}\]

Chứng minh BĐT 18
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \dfrac{{{x^3}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}} + \dfrac{{{m^3}}}{{{m^3} + {n^3} + {p^3}}} \ge \dfrac{{3axm}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)}}}}$

Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với $(b;y;n)$ và $(c;z;p)$ rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.

Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)

P/s: Làm bài này kiểu hàm số thì khó lắm anh Thành ơi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 17-05-2012 - 21:18

[Crystal]

P/s: Làm bài này kiểu hàm số thì khó lắm anh Thành ơi

Không khó đâu Việt à. Tối rãnh tí anh gửi lên các em tham khảo!

---

[Crystal]

Cho $x,y,z\geq$ 0 thõa mãn $x+y+z>0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

Anh trình bày cách dùng hàm số khá ngu của anh. Cách dưới đây anh tìm thêm cả GTLN.
---
Chuẩn hóa $x + y + z = 1$.

Khi đó: \[P = {x^3} + {y^3} + 16{z^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + 16{z^3} = {\left( {1 - z} \right)^3} - 3xy\left( {1 - z} \right) + 16{z^3}\]
Theo AM - GM, ta có: \[xy \leqslant \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {1 - z} \right)}^2}}}{4},\,\,\,\,z \in \left[ {0;1} \right]\]
Suy ra: \[P \geqslant {\left( {1 - z} \right)^3} - \frac{3}{4}{\left( {1 - z} \right)^3} + 16{z^3} = \frac{1}{4}{\left( {1 - z} \right)^3} + 16{z^3} = ...\]
\[ = \frac{1}{4}\left( {63{z^3} + 3{z^2} - 3z + 1} \right) = \frac{1}{4}f\left( z \right)\]
Ta có: \[f'\left( z \right) = 189{z^2} + 6c - 3 \Rightarrow f'\left( z \right) = 0 \Leftrightarrow z = \frac{1}{9}\,\,\,\left( \text{do}\,\,\,\,{z \in \left[ {0;1} \right]} \right)\]
Khi đó: \[f\left( 0 \right) = 1;\,\,f\left( {\frac{1}{9}} \right) = \frac{{64}}{{81}};\,\,\,\,f\left( 1 \right) = 64\]
Từ đây ta thu được:
$$\mathop {\min }\limits_{z \in \left[ {0;1} \right]} f\left( z \right) = \mathop {\min }\limits_{z \in \left[ {0;1} \right]} \left\{ {f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1}{9}} \right),f\left( 1 \right)} \right\} = \frac{{64}}{{81}} \Rightarrow \min P = \frac{{16}}{{81}}$$
$$\mathop {\max }\limits_{z \in \left[ {0;1} \right]} f\left( z \right) = \mathop {\max }\limits_{z \in \left[ {0;1} \right]} \left\{ {f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1}{9}} \right),f\left( 1 \right)} \right\} = 64 \Rightarrow \max P = 16$$
Xét dấu "=" xảy ra.

1. Trường hợp $P$ đạt GTNN.

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
x = y\\
z = \frac{1}{9}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = \frac{4}{9}\\
z = \frac{1}{9}
\end{array} \right.$

2. Trường hợp $P$ đạt GTLN.

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
x = y\\
z = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = 0\\
z = \frac{1}{9}
\end{array} \right.$

KẾT LUẬN:

GTNN của $P$ là $\frac{{16}}{{81}}$, đạt được khi $\left( {x;y;z} \right) = \left( {\frac{4}{9};\frac{4}{9};\frac{1}{9}} \right)$

GTLN của $P$ là $16$, đạt được khi $\left( {x;y;z} \right) = \left( 0;0;1 \right)$

-----

Nhận xét:

1. Hai lời giải cho hai kết quả khác nhau.

2. Khi đi thi Đại học thì không được dùng Holder, do đó buộc phải dùng cách này. Còn có cách khác nữa không thi anh chưa thử.

3. Trong lời giải dùng Holder chỉ có thể tìm được GTNN của $P$, nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN thì chịu, lại phải chuyển sang dùng hàm số.

4. Các em tham khảo rồi góp ý xây dựng. Nếu ta không chuẩn hóa thì liệu có thể giải quyết bài toán trên với cách dùng hàm số không?

5. Phần màu đỏ bị sai. Với cách dùng trên thì chỉ tìm được GTLN của hàm $f\left( z \right) = 63{z^3} + 3{z^2} - 3z + 1$ chứ không kết luận được GTLN của $P$ vì đã đánh giá $P \ge \frac{1}{4}f\left( z \right)$.
---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nsthanh: 18-05-2012 - 21:09

[vietfrog]

Em có mặt đây.
1. Kết quả 2 lời giải khác nhau là do tson1997 đã tính toán nhầm.Lúc nãy em cũng không để ý.

$(x^3+y^3+16z^3)(8+8+2)(8+8+2) \geq 4(x+y+z)^3$
Hay
$P \geq \frac{1}{81}$ (thì phải)

Phải sửa thành : $(x^3+y^3+16z^3)(8+8+2)(8+8+2) \geq {4^3}{\left( {x + y + z} \right)^3}$
Từ đó cũng suy ra được :\[P \ge \frac{{{4^3}}}{{{{\left( {2 + 8 + 8} \right)}^2}}} = \frac{{16}}{{81}}\]
2. Em nghĩ nếu ta chứng minh được BĐT Holder dạng 3 số bằng BĐT AM-GM thì vẫn có thể coi như Bài toán phụ để áp dụng.
Bài này em đã làm 1 lần bên onluyentoan.vn. Thi Đại học thì sẽ trình bày thế này. ( Lời giải của em bên onluyentoan.vn )

Trước tiên ta chứng minh BĐT sau:
\[\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge {\left( {amx + bny + cpz} \right)^3}\]
(với $x,y,z,a,b,c,m,n,p$ là các số không âm)
Thật vậy, theo BĐT AM-GM ta có:
\[\frac{{{a^3}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \frac{{{m^3}}}{{{m^3} + {n^3} + {p^3}}} + \frac{{{x^3}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}} \ge \frac{{3amx}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)}}}}\]
\[\frac{{{b^3}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \frac{{{n^3}}}{{{m^3} + {n^3} + {p^3}}} + \frac{{{y^3}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}} \ge \frac{{3bny}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)}}}}\]
\[\frac{{{c^3}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \frac{{{p^3}}}{{{m^3} + {n^3} + {p^3}}} + \frac{{{z^3}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}} \ge \frac{{3cpz}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)}}}}\]
Cộng lại ta được:
\[\begin{array}{l}
3 \ge \frac{{3\left( {amx + bny + cpz} \right)}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)}}}}\\
\Leftrightarrow \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge {\left( {amx + bny + cpz} \right)^3}
\end{array}\]
BĐT được chứng minh.
Áp dụng vào bài ta có:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {{x^3} + {y^3} + {{\left( {\sqrt[3]{{16}}z} \right)}^3}} \right)\left( {1 + 1 + {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}} \right)}^3}} \right)\left( {1 + 1 + {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}} \right)}^3}} \right) \ge {{\left( {x + y + z} \right)}^3}} \\
{ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^3} + {y^3} + 16{z^3}} \right)}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^3}}} \ge \frac{1}{{{{\left( {1 + 1 + \frac{1}{4}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow P \ge \dfrac{16}{81}} \\
\end{array}$$
Dấu = xảy ra khi $x = y = 4z$
Vậy $MinP = \dfrac{16}{81}$

P/s: Đợi em xem tiếp đã

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 18-05-2012 - 01:24

[vietfrog]

KẾT LUẬN:

GTNN của $P$ là $\frac{{16}}{{81}}$, đạt được khi $\left( {x;y;z} \right) = \left( {\frac{4}{9};\frac{4}{9};\frac{1}{9}} \right)$

Em nghĩ anh kết luận thế này chỉ đúng trong 1 trường hợp $x+y+z=1$ thôi.
Em đang suy nghĩ về GTLN. Không biết có vấn đề gì không nhưng thật hổ thẹn vì giờ mới tìm được lời giải bằng Hàm số phải nói là ''hay và đẹp'' như trên. Để em đọc 1 lát đã
P/s: Cái post trên dài quá em post 1 cái mới, không phải spam nhá

[Crystal]

1. Anh cũng không để ý

2. Lời giải của em rất chi là công phu. Trong phòng thi không biết có còn ai ngoài em còn bình tĩnh để chứng minh cái BĐT trên không nữa và cũng ít người biết đến BĐT này. Những bạn không tìm hiểu sâu vào như các em thì khó lắm.

3. Lời giải trên có thể nói là hay nhưng khi đi thi Đại học anh nghĩ các em nên hạn chế sử dụng những bất đẳng thức cổ điển ngoài Cauchy và Bunhiacopxki, theo quy định của Bộ thì thí sinh chỉ được phép sử dụng hai BĐT đó.

Xu thế hiện nay vẫn đang chuộng phương pháp hàm số nên cố gắng sử dụng những kiến thức Phổ thông để giải. Bên cạnh đó cũng hay sử dụng các BĐT phụ. Nhắc tới đây anh mới nhớ. Em cố gắng duy trì cái topic BĐT phụ của em nhé. Khi nào có hứng anh ghé thăm. Cái này là SPAM nè.

4. Em tiếp tục cho ý kiến.

---

[Crystal]

KẾT LUẬN:

GTNN của $P$ là $\frac{{16}}{{81}}$, đạt được khi $\left( {x;y;z} \right) = \left( {\frac{4}{9};\frac{4}{9};\frac{1}{9}} \right)$

Em nghĩ anh kết luận thế này chỉ đúng trong 1 trường hợp $x+y+z=1$ thôi.

1. Cái đó cũng không sai đâu em. Tại lúc đầu anh đã chuẩn hóa $x+y+z=1$ rồi. Với lại trong câu văn của anh ghi rất rõ là "khi" chứ không phải "khi và chỉ khi". Dụ ý là chọn một trường hợp chứ không phải là duy nhất. Những cái này cũng cần phải để ý.

2. Anh cũng đang tìm cách dùng hàm số mà không cần chuẩn hóa như trên. Lí do chuẩn hóa cũng không xuất hiện trong khi thi Đại học.

3. Không spam đâu em. Cần có những topic thảo luận như thế này.

---

[le_hoang1995]

Anh Thành đổi tên làm em cứ ngờ ngợ. Anh cho em hỏi về bài của anh.
Ở trên anh đã dùng 1 ước lượng am-gm: $P \geq... f(z)$ thì làm sao còn tìm được max nữa nhỉ.

Khi đó: \[P = {x^3} + {y^3} + 16{z^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + 16{z^3} = {\left( {1 - z} \right)^3} - 3xy\left( {1 - z} \right) + 16{z^3}\]
Theo AM - GM, ta có: \[xy \leqslant \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {1 - z} \right)}^2}}}{4},\,\,\,\,z \in \left[ {0;1} \right]\]
Suy ra: \[P \geqslant {\left( {1 - z} \right)^3} - \frac{3}{4}{\left( {1 - z} \right)^3} + 16{z^3} = \frac{1}{4}{\left( {1 - z} \right)^3} + 16{z^3} = ...\]
\[ = \frac{1}{4}\left( {63{z^3} + 3{z^2} - 3z + 1} \right) = \frac{1}{4}f\left( z \right)\]

[Crystal]

Anh Thành đổi tên làm em cứ ngờ ngợ. Anh cho em hỏi về bài của anh.
Ở trên anh đã dùng 1 ước lượng am-gm: $P \geq... f(z)$ thì làm sao còn tìm được max nữa nhỉ.

Ấy chết. Đúng là như vậy thật. Cảm ơn em đã chỉ ra chỗ sai đó.

Cái đó chỉ tìm được GTLN cho hàm số $f\left( z \right) = 63{z^3} + 3{z^2} - 3z + 1$

Vậy có cách nào để tìm được cả GTLN của biểu thức trên không nhỉ. Em có đề xuất gì không?

---

[le_hoang1995]

Em chưa có cách nào cả, mà em cũng không rõ liệu nó có max hay không nữa

[Crystal]

Em chưa có cách nào cả, mà em cũng không rõ liệu nó có max hay không nữa

Anh nghĩ là tồn tại GTLN và nó sẽ bằng $16$. Nếu ta đưa $P$ về dạng như trên, tức $P = \frac{1}{4}f\left( z \right),\,\,\,\,f\left( z \right) = 63{z^3} + 3{z^2} - 3z + 1$ thì điều này hoàn toàn xảy ra.

Bạn nào có lời giải hay hơn thì gửi lên mọi người tham khảo.

---

[Ispectorgadget]

Cho x,y,z$\geq$ 0 thõa mãn x+y+z>0.Tìm giá trị nhỏ nhất của:P=$\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

Một cách khác cũng dùng phương pháp hàm số
GTNN: Sử dụng BĐT quen thuộc $x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}$

Đặt $x+y+z=a$. Khi đó $4P\geq \frac{(x+y)^3+64z^3}{a^3}=\frac{(a-z)^3+64z^3}{a^3}=(1-t)^3+64t^3$
Với $t=\frac{z}{a};0\leq t\leq 1$
Xét hàm số $f(t)=(1-t)^3+64t^3;t\in[0;1]$
$$f'(t)=3[64t^2-(1-t)^2];f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{9}\in[0;1]$$
Kẻ bảng biến thiên ta có
$min f(t)_{t\in[0;1]}=\frac{64}{81}\Rightarrow MinP=\frac{16}{81}$
Xảy ra khi $x=y=4z>0$
P/S1: Bài này GTLN em vẫn chưa có hướng.
P/S2: VMF nên có những buổi thảo luận thế này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-04-2014 - 18:09

[le_hoang1995]

Em nghĩ bài này không có max rồi, nếu cho a và b âm, c dương và tổng $a+b+c$ rất sát không thì P vọt lên rất lớn đó( cái này là em thử bấm máy tính )

[Crystal]

Hay! Cách của Kiên tổng quát hơn cách của anh khi anh đã ép cho $x+y+z=1$.

Hãy mở rộng bài toán thành tìm GTLN và GTNN nhé.

---

[Crystal]

Em nghĩ bài này không có max rồi, nếu cho a và b âm, c dương và tổng $a+b+c$ rất sát không thì P vọt lên rất lớn đó( cái này là em thử bấm máy tính )

Em lại đi khác hướng của bài toán rồi. Đề cho là $x,y,z \ge 0;\,\,\,x + y + z > 0$ mà em, sao lại có thể cho $a$ và $b$ âm, $c$ dương được?

--

[vietfrog]

Em nghĩ bài này không có max rồi, nếu cho a và b âm, c dương và tổng $a+b+c$ rất sát không thì P vọt lên rất lớn đó( cái này là em thử bấm máy tính )

Đề bài cho $x,y,z$ không âm rồi mà. Hôm qua cũng ngờ ngờ phần CM GTLN của anh Thành. .
Nhưng mà em nghĩ đúng là GTLN là 16.
P/s: Em đang nghĩ theo hướng tìm GTLN bằng cách khảo sát lần lượt từng biến ( sau khi chuẩn hóa tổng ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 18-05-2012 - 22:04

[Ispectorgadget]

Max chắc là 16 rồi mọi người có thể xem ở đây http://www.wolframal...z^3}{(x+y+z)^3}
Em vẫn chưa có hướng gì cả