Chủ đề này có 24 trả lời

[le_hoang1995]

Dễ thấy $P=\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}\leq \frac{(x+y)^3+16z^3}{(x+y+z)^3}=f(0;x+y;z)$
Ta đã dồn được về 2 biến

[Crystal]

Anh đã phát hiện một lời giải thế này, mặc dù cho kết quả là $16$ nhưng thấy không hay cho lắm.

-----

Nhận thấy trong biểu thức $P$ thì $x,y$ có vai trò như nhau nên ta nghĩ đến việc đặt $x = az,\,\,y = bz$.

Giả sử $0 \le x \le y \Rightarrow z > 0$, khi đó $0 \le a \le b$.

Thay vào biểu thức ta được: \[P = \frac{{{a^3}{z^3} + {b^3}{z^3} + 16{z^3}}}{{{{\left( {az + bz + z} \right)}^3}}} = \frac{{{z^3}\left( {{a^3} + {b^3} + 16} \right)}}{{{z^3}{{\left( {a + b + 1} \right)}^3}}} = \frac{{{a^3} + {b^3} + 16}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^3}}},\,\,\,\,z > 0\]
Đến đây ta xét hàm số: \[f\left( a \right) = \frac{{{a^3} + {b^3} + 16}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^3}}},\,\,\,a \ge 0\]
Ta có: \[f'\left( a \right) = \frac{{3{a^2}{{\left( {a + b + 1} \right)}^3} - 3\left( {{a^3} + {b^3} + 16} \right){{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^6}}}\]
\[ = \frac{{3{a^2}\left( {a + b + 1} \right) - 3\left( {{a^3} + {b^3} + 16} \right)}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^4}}} = \frac{{3\left( {{a^2}b + {a^2} - {b^3} - 16} \right)}}{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^4}}} < 0,\,\,\,a \le b\]
Suy ra hàm số $f\left( a \right)$ giảm trên $\left[ {0; + \infty } \right)$. Do đó: \[f\left( a \right) \le f\left( 0 \right) = \frac{{{b^3} + 16}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^3}}} = g\left( b \right),\,\,\,b \ge 0\]
Lại có: \[g'\left( b \right) = \frac{{3{b^2}{{\left( {b + 1} \right)}^3} - 3\left( {{b^3} + 16} \right){{\left( {b + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^6}}} = \frac{{3\left( {{b^2} - 16} \right)}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^4}}}\]
Suy ra $g'\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow b = 4\,\,\text{do}\,\,\,\left( {b \ge 0} \right)$
Khi đó: \[g\left( 0 \right) = 16;\,\,g\left( 4 \right) = \frac{{16}}{{25}};\,\,\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } g\left( b \right) = 1\]
Từ đây có được $\mathop {\max }\limits_{b \ge 0} g\left( b \right) = g\left( 0 \right) = 16 \Rightarrow \max P = 16$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
a = 0\\
x = az\\
y = bz
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = 0\\
z = 1
\end{array} \right.$. Chọn như thế này thấy kì kì sao ấy!

Kết luận:$\max P = 16$ khi $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;1} \right)$

-----

P/S: Mọi người góp ý xây dựng.

[Ispectorgadget]

Em có đưa bài này qua Boxmath xem người ta làm thế nào mọi người tham khảo nhé.
$P = \frac{{{x^3} + {y^3} + 16{z^3}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^3}}}\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = tz\\
y = kz\\
t,k \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{{{t^3} + {k^3} + 16}}{{{{\left( {t + k + 1} \right)}^3}}}\\
{t^3} + {k^3} \le {\left( {t + k} \right)^3}\forall t,k \ge 0 \Rightarrow P \le \frac{{{{\left( {t + k} \right)}^3} + 16}}{{{{\left[ {\left( {t + k} \right) + 1} \right]}^3}}} = \frac{{{a^3} + 16}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^3}}} = f\left( a \right)\\
\left( {a = t + k \ge 0} \right)\\
f'\left( a \right) = \frac{{3{a^4} + 6{a^3} - 45{a^2} - 96a - 48}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^6}}} \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 4\left( { \ge 0} \right)\\
\mathop {\lim }\limits_{\delta a \to + \infty } f\left( a \right) = 1$
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
$f{\left( a \right)_{\max }} = f\left( 0 \right) = 16\\
' = ' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = k = 0\\
a = 0
\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 0$

Nguồn: http://boxmath.vn/4r...wreply&p=131917

[Crystal]

Cách trên na ná cách của anh, chỉ khác cái đánh giá

${t^3} + {k^3} \le {\left( {t + k} \right)^3}\forall t,k \ge 0 \Rightarrow P \le \frac{{{{\left( {t + k} \right)}^3} + 16}}{{{{\left[ {\left( {t + k} \right) + 1} \right]}^3}}} = \frac{{{a^3} + 16}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^3}}} = f\left( a \right)$

---

Việt có ý kiến gì không em.

[daothanhoai]

Một cách khác cũng dùng phương pháp hàm số
GTNN: Sử dụng BĐT quen thuộc $x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}$

Đặt $x+y+z=a$. Khi đó $4P\geq \frac{(x+y)^3+64z^3}{a^3}=\frac{(a-z)^3+64z^3}{a^3}=(1-t)^3+64z^3$
Với $t=\frac{z}{a};0\leq t\leq 1$
Xét hàm số $f(t)=(1-t)^3+64t^3;t\in[0;1]$
$$f'(t)=3[64t^2-(1-t)^2];f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{9}\in[0;1]$$
Kẻ bảng biến thiên ta có
$min f(t)_{t\in[0;1]}=\frac{64}{81}\Rightarrow MinP=\frac{16}{81}$
Xảy ra khi $x=y=4z>0$
P/S1: Bài này GTLN em vẫn chưa có hướng.
P/S2: VMF nên có những buổi thảo luận thế này

Em thử làm theo hướng đưa bài toán về: Tìm giá trị lớn nhất của $P=a^3+b^3+16c^3$ biết $a+b+c=1$

Bài toán tổng quát:

cho $a_i>0; a_1+a_2+...+a_n=1$ tìm giá trị lớn nhất của $P=\alpha _1a_1^r+\alpha _2a_2^r+...+\alpha _na_n^r$.

Bài toán tuơng đương là tìm M nhỏ nhất để $\alpha _1x_1^r+\alpha _2x_2^r+...+\alpha _nx_n^r\leq M(x_1+x_2+...+x_n)^r$ trong đó $x_i;\alpha _i>0$ theo anh nghĩ thì bài toán này không có lời giải tổng quát; thậm chí là không có lời giải. Ít nhất cho đến thời điểm hiện tại chưa ai giải được!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 18-07-2012 - 10:03