Chủ đề này có 4 trả lời

[Crystal]

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): \ x+y-5=0$ và đường thẳng $(d):\left\{ \begin{align}
x=2+t \\
y=-2t \\
z=1 \\
\end{align} \right.$. Viết phương trình đường thẳng $(\Delta )$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, vuông góc đường thẳng $(d)$, đồng thời khoảng cách giữa $(\Delta )$ và $(d)$ bằng $\sqrt{5}$.
 

Đề thi thử Đại học 2012 lần 3 - Chuyên Nguyễn Quang Diêu

[Crystal]

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $(d):\left\{ \begin{align}
& x=t \\
& y=3 \\
& z=6+t \\
\end{align} \right.$, mặt phẳng $(P): \ x+z-4=0$ và điểm $E(3;\,0;\,1)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$. Viết phương trình đường thẳng $(\Delta )$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, đi qua điểm $E$ và khoảng cách giữa $(\Delta )$và $(d)$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Đề thi thử Đại học 2012 lần 3 - Chuyên Nguyễn Quang Diêu

[E. Galois]

Mặt phẳng $(P)$ có vector pháp tuyến: $\overrightarrow{n}=(1;1;0)$, đường thẳng $(d)$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-2;0)$ và đi qua điểm $M_0(2;0;1)$

Vector chỉ phương của đường thăng $(\Delta)$ là:

$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}\wedge \overrightarrow{u}=-3(0;0;1)$$

Giả sử $(\Delta)$ đi qua điểm $M(x;y;z)$. Khi đó:

$$\sqrt 5 = d_{\left ((\Delta),(d)  \right )}=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right ].\overrightarrow{M_0M} \right |}{\left | \left [ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right ] \right |} = \frac{\left | -2x+4-y \right |}{\sqrt5}$$

Ta có hai trường hợp:

*TH1:

$$\left \{ \begin{matrix}2x+y-4=5\\ x+y-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow M(4;1;0)$$

 

*TH2:

$$\left \{ \begin{matrix}2x+y-4=-5\\ x+y-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow M(-6;11;0)$$

 

Vậy ta có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:

$$(\Delta_1): \left \{ \begin{matrix}x=4\\ y=1\\z=t \end{matrix}\right. , (\Delta_2): \left \{ \begin{matrix}x=-6\\ y=11\\z=t' \end{matrix}\right.$$

[trangxoai1995]

Mặt phẳng $(P)$ có vector pháp tuyến: $\overrightarrow{n}=(1;1;0)$, đường thẳng $(d)$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-2;0)$ và đi qua điểm $M_0(2;0;1)$

Vector chỉ phương của đường thăng $(\Delta)$ là:

$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}\wedge \overrightarrow{u}=-3(0;0;1)$$

Giả sử $(\Delta)$ đi qua điểm $M(x;y;z)$. Khi đó:

$$\sqrt 5 = d_{\left ((\Delta),(d)  \right )}=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right ].\overrightarrow{M_0M} \right |}{\left | \left [ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right ] \right |} = \frac{\left | -2x+4-y \right |}{\sqrt5}$$

Ta có hai trường hợp:

*TH1:

$$\left \{ \begin{matrix}2x+y-4=5\\ x+y-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow M(4;1;0)$$

 

*TH2:

$$\left \{ \begin{matrix}2x+y-4=-5\\ x+y-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow M(-6;11;0)$$

 

Vậy ta có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:

$$(\Delta_1): \left \{ \begin{matrix}x=4\\ y=1\\z=t \end{matrix}\right. , (\Delta_2): \left \{ \begin{matrix}x=-6\\ y=11\\z=t' \end{matrix}\right.$$

Bạn à, từ khoảng cách d($\Delta$;d) suy ra được hai biểu thức: $2x+y-9=0$; $2x+y+1=0$. tại sao đường thẳng cần tìm lại là giao tuyến của mặt phẳng cần tìm và hai cái vừa tìm được. Bạn có thể giải thích kĩ hơn cho mình được ko?

[Nhox169]

Bạn à, từ khoảng cách d($\Delta$;d) suy ra được hai biểu thức: $2x+y-9=0$; $2x+y+1=0$. tại sao đường thẳng cần tìm lại là giao tuyến của mặt phẳng cần tìm và hai cái vừa tìm được. Bạn có thể giải thích kĩ hơn cho mình được ko?

bài này nghĩa là thế này:

vì $\left\{\begin{matrix} \Delta \perp (d) \Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}\perp \overrightarrow{u_{d}} & & \\ \Delta \epsilon (P) \Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}\perp \overrightarrow{n_{P}}& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}= \left [ \overrightarrow{u_{d}}, \overrightarrow{n_{P}}\right ]$

 

và cái phần khoảng cách là để xác định điểm trên đường thẳng $\Delta$ để viết phương trình