Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Dang Do]

Tìm GTLN của biếu thức biết $x,y,z$ là các số thực dương và $x^2+y^2+z^2=xyz$
$$A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}$$

[Secrets In Inequalities VP]

Tìm GTLN của biếu thức biết $x,y,z$ là các số thực dương và $x^2+y^2+z^2=xyz$
$$A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}$$

GT $\Leftrightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}= 1$
$A= \sum \frac{x}{x^{2}+yz}\leq\sum \frac{x}{4}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{yz})= \sum \frac{1}{4}.(\frac{1}{x}+\frac{x}{yz})$
$= \frac{1}{4}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy})= \frac{1}{4}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1)$
Theo AM-GM : $\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}\geq \frac{2}{z}$
$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\geq \frac{2}{x}$
$\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\geq \frac{2}{y}$
$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}= 1$
$\Rightarrow A\leq \frac{1}{4}.(1+1)= \frac{1}{2}$
Dấu "=" khi $x=y=z=3$ .

[Giang1994]

Tìm GTLN của biếu thức biết $x,y,z$ là các số thực dương và $x^2+y^2+z^2=xyz$
$$A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}$$

$x^2+yz \geq 2x\sqrt{yz}$
$\frac{x}{x^2+yz} \leq \frac{1}{2\sqrt{yz}} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{y}+ \frac{1}{z})$

suy ra
$A \leq \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z}) =\frac{1}{2}\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} \leq \frac{1}{2}$

$\max A=\frac{1}{2}$