Chủ đề này có 4 trả lời

[sogenlun]

Chứng minh rằng phương trình bậc 5 : $$x^5-5x^4+30x^3-50x^2+55x-21=0$$ có nghiệm duy nhất là : $$x=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 11-10-2012 - 19:31

[kainguyen]

Ta xét: $y=f(x)=x^5-5x^4+30x^3-50x^2+55x-21$

và xét lần lượt đạo hàm: $f^{(1)}x,f^{(2)}x,f^{(3)}x$

Từ đó, bạn lập được bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$

Ta kết luận được $f(x)$ là hàm đơn điệu trên $\mathbb{R}$

Mặt khác, nhận thấy $x= 1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$ là nghiệm của $y=f(x)=0$ nên ta có đpcm.

Đây là suy nghĩ của mình, chẳng biết hợp lý hay không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kainguyen: 18-05-2012 - 21:55

[chagtraife]

tại sao bạn kết luận $f\left ( x \right )$ là hàm đơn điệu?
theo mình thì xét sự biến thiên để thấy $f\left ( x \right )$có 1 nghiệm thôi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chagtraife: 26-05-2012 - 11:34

[Mai Xuan Son]

Chứng minh rằng phương trình bậc 5 : $$x^5-5x^4+30x^3-50x^2+55x-21=0$$ có nghiệm duy nhất là : $$x=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$$.

Ta có:
$f'(x)=5(x^4-4x^3+18x^2-20x+11)$
phần trong ta tách như sau:
$A=x^4-4x^3+18x^2-20x+11=x^2(x^2-4x+5)+13x^2-20x+11$
Sử dụng tính chất của tam thức bậc II
$f(x)=ax^2+bx+c$
nếu $\Delta < 0$ thì $a.\Delta > 0$
Dễ thấy $A> 0$ vì biệt thức của 2 tam thức bậc 2 $<0$ và có hệ số $a>0$
Theo hệ quả của định lí rolle thì pt có nhiều nhất 1 nghiệm
Còn nghiệm của nó rõ ràng là 1 phần của hằng đẳng thức nên ta có thể rút gọn và thay vào

[Gioi han]

Chứng minh rằng phương trình bậc 5 : $$x^5-5x^4+30x^3-50x^2+55x-21=0$$ có nghiệm duy nhất là : $$x=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$$.

bài này có trong file tổng hợp từ MS